题目

6.设X1,X2是来自正态总体N(μ,1)的样本,则对统计量 (hat {mu )}_(1)=dfrac (2)(3)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2) ,-|||-(hat {mu )}_(2)=dfrac (1)(4)(X)_(1)+dfrac (3)(4)(X)_(2) , (hat {mu )}_(3)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(2)(X)_(2) ,以下结论中错误的是 ()-|||-A.μ1,μ2,μ 3都是μ的无偏估计量 B.μ1,μ2,μ3都是μ的一致估计量-|||-C.μ3比μ1,μ2更有效 D. dfrac (1)(2)((overrightarrow {u)}_(1)+overrightarrow ({u)_(2)}) 不比μ3 更有效

题目解答

答案

D. $\dfrac {1}{2}({\overrightarrow {u}}_{1}+\overrightarrow {{u}_{2}})$ 不比μ3 更有效

解析

本题主要考查了无偏估计量、一致估计量以及估计量有效性的相关知识。解题的关键在于根据期望和方差的性质，分别计算各统计量的期望和方差，再依据无偏估计量、一致估计量和有效性的定义来判断各个选项的正确性。

  1. 判断无偏估计量：
    • 若一个统计量$\hat{\theta}$的期望$E(\hat{\theta})=\theta$，则称$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。
    • 已知$X_1,X_2$是来自正态总体$N(\mu,1)$的样本，所以$E(X_1)=E(X_2)=\mu$，$D(X_1)=D(X_2)=1$。
    • 计算$E(\hat{\mu}_1)$：
      根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得$E(\hat{\mu}_1)=E(\frac{2}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2)=\frac{2}{3}E(X_1)+\frac{1}{3}E(X_2)=\frac{2}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu=\mu$。
    • 计算$E(\hat{\mu}_2)$：
      同理可得$E(\hat{\mu}_2)=E(\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2)=\frac{1}{4}E(X_1)+\frac{3}{4}E(X_2)=\frac{1}{4}\mu+\frac{3}{4}\mu=\mu$。
    • 计算$E(\hat{\mu}_3)$：
      $E(\hat{\mu}_3)=E(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2)=\frac{1}{2}E(X_1)+\frac{1}{2}E(X_2)=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\mu=\mu$。
    • 由于$E(\hat{\mu}_1)=E(\hat{\mu}_2)=E(\hat{\mu}_3)=\mu$，所以$\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$都是$\mu$的无偏估计量，选项A正确。
  2. 判断一致估计量：
    • 若一个无偏估计量$\hat{\theta}$的方差$D(\hat{\theta})\to0$（当样本容量$n\to\infty$时），则称$\hat{\theta}$是$\theta$的一致估计量。
    • 计算$D(\hat{\mu}_1)$：
      根据方差的性质$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$与$Y$相互独立），可得$D(\hat{\mu}_1)=D(\frac{2}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2)=(\frac{2}{3})^2D(X_1)+(\frac{1}{3})^2D(X_2)=\frac{4}{9}\times1+\frac{1}{9}\times1=\frac{5}{9}$。
    • 计算$D(\hat{\mu}_2)$：
      同理可得$D(\hat{\mu}_2)=D(\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2)=(\frac{1}{4})^2D(X_1)+(\frac{3}{4})^2D(X_2)=\frac{1}{16}\times1+\frac{9}{16}\times1=\frac{5}{8}$。
    • 计算$D(\hat{\mu}_3)$：
      $D(\hat{\mu}_3)=D(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2)=(\frac{1}{2})^2D(X_1)+(\frac{1}{2})^2D(X_2)=\frac{1}{4}\times1+\frac{1}{4}\times1=\frac{1}{2}$。
    • 因为$D(\hat{\mu}_1),D(\hat{\mu}_2),D(\hat{\mu}_3)$均为有限值，且随着样本容量的增加，它们都不会趋于无穷大，所以$\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2,\hat{\mu}_3$都是$\mu$的一致估计量，选项B正确。
  3. 判断估计量的有效性：
    • 对于两个无偏估计量$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$，若$D(\hat{\theta}_1)\lt D(\hat{\theta}_2)$，则称$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。
    • 比较$D(\hat{\mu}_1),D(\hat{\mu}_2),D(\hat{\mu}_3)$的大小：
      $\frac{1}{2}=\frac{36}{72}$，$\frac{5}{9}=\frac{40}{72}$，$\frac{5}{8}=\frac{45}{72}$，可得$D(\hat{\mu}_3)\lt D(\hat{\mu}_1)\lt D(\hat{\mu}_2)$，所以$\hat{\mu}_3$比$\hat{\mu}_1,\hat{\mu}_2$更有效，选项C正确。
  4. 判断$\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2)$与$\hat{\mu}_3$的有效性：
    • 计算$D(\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2))$：
      根据方差的性质$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$与$Y$相互独立），可得$D(\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2))=\frac{1}{4}[D(\hat{\mu}_1)+D(\hat{\mu}_2)]=\frac{1}{4}(\frac{5}{9}+\frac{5}{8})=\frac{1}{4}\times\frac{40 + 45}{72}=\frac{85}{288}$。
    • 比较$D(\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2))$与$D(\hat{\mu}_3)$的大小：
      $\frac{1}{2}=\frac{144}{288}$，因为$\frac{85}{288}\gt\frac{144}{288}$，即$D(\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2))\gt D(\hat{\mu}_3)$，所以$\frac{1}{2}(\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2)$不比$\hat{\mu}_3$更有效，选项D错误。