题目
将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于A. -1.B. 0.C. 1/2.D. 1.
将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于
A. -1.
B. 0.
C. 1/2.
D. 1.
题目解答
答案
A. -1.
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为正面向上的次数，Y为反面向上的次数。由于硬币只有正反两面，所以X和Y满足X + Y = n，其中n为掷硬币的总次数。
步骤 2：计算期望值
由于每次掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，所以X和Y的期望值分别为E(X) = n/2，E(Y) = n/2。
步骤 3：计算方差
由于每次掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，所以X和Y的方差分别为Var(X) = n/4，Var(Y) = n/4。
步骤 4：计算协方差
由于X和Y满足X + Y = n，所以X和Y的协方差为Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X(n-X)) - E(X)E(Y) = E(Xn - X^2) - E(X)E(Y) = nE(X) - E(X^2) - E(X)E(Y) = n(n/2) - (n/2 + n/4) - (n/2)^2 = -n/4。
步骤 5：计算相关系数
根据相关系数的定义，X和Y的相关系数为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / sqrt(Var(X)Var(Y)) = -n/4 / sqrt(n/4 * n/4) = -1。
设X为正面向上的次数，Y为反面向上的次数。由于硬币只有正反两面，所以X和Y满足X + Y = n，其中n为掷硬币的总次数。
步骤 2：计算期望值
由于每次掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，所以X和Y的期望值分别为E(X) = n/2，E(Y) = n/2。
步骤 3：计算方差
由于每次掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，所以X和Y的方差分别为Var(X) = n/4，Var(Y) = n/4。
步骤 4：计算协方差
由于X和Y满足X + Y = n，所以X和Y的协方差为Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X(n-X)) - E(X)E(Y) = E(Xn - X^2) - E(X)E(Y) = nE(X) - E(X^2) - E(X)E(Y) = n(n/2) - (n/2 + n/4) - (n/2)^2 = -n/4。
步骤 5：计算相关系数
根据相关系数的定义，X和Y的相关系数为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / sqrt(Var(X)Var(Y)) = -n/4 / sqrt(n/4 * n/4) = -1。