题目
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X服从均值为170 cm，标准差为6 cm的正态分布，问车门高度应如何确定？
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X服从均值为170 cm，标准差为6 cm的正态分布，问车门高度应如何确定？
题目解答
答案
解：设车门高度为h cm，按设计要求可列出如下方程:
P(X≥h)≤0.01或P(X＜h)≥0.99.
依题意，X～N(170,62),则
服从标准正态分布，故
现在是已知X小于h的概率不小于0.99，即标准正态变量小于
的概率不小于0.99，反过来求h.现在我们从表中找到最靠近0.99的数0.990 1，查出它对应的值是2.33，于是得
从中解得h≥170+6×2.33,
∴h≥183.98,
即设计车门高度为
解析
步骤 1：确定问题
问题要求我们找到一个车门高度h，使得男子与车门顶碰头的机会在0.01以下。这意味着男子身高X大于等于h的概率应该小于等于0.01，即P(X≥h)≤0.01。等价地，P(X＜h)≥0.99。
步骤 2：标准化
由于男子身高X服从均值为170 cm，标准差为6 cm的正态分布，即X～N(170,6^{2})，我们可以通过标准化将X转换为标准正态分布Z，其中$Z=\dfrac {X-170}{6}$。
步骤 3：查找标准正态分布表
我们需要找到一个z值，使得P(Z＜z)≥0.99。通过查找标准正态分布表，我们可以找到最接近0.99的值，对应的z值为2.33。
步骤 4：计算车门高度
根据步骤3中找到的z值，我们可以计算出车门高度h。由于$Z=\dfrac {X-170}{6}$，我们有$\dfrac {h-170}{6}\geqslant 2.33$。解这个不等式，我们得到$h\geqslant 170+6\times 2.33$。
步骤 5：计算结果
计算得到$h\geqslant 170+6\times 2.33=170+13.98=183.98$。因此，车门高度应至少为184 cm。
问题要求我们找到一个车门高度h，使得男子与车门顶碰头的机会在0.01以下。这意味着男子身高X大于等于h的概率应该小于等于0.01，即P(X≥h)≤0.01。等价地，P(X＜h)≥0.99。
步骤 2：标准化
由于男子身高X服从均值为170 cm，标准差为6 cm的正态分布，即X～N(170,6^{2})，我们可以通过标准化将X转换为标准正态分布Z，其中$Z=\dfrac {X-170}{6}$。
步骤 3：查找标准正态分布表
我们需要找到一个z值，使得P(Z＜z)≥0.99。通过查找标准正态分布表，我们可以找到最接近0.99的值，对应的z值为2.33。
步骤 4：计算车门高度
根据步骤3中找到的z值，我们可以计算出车门高度h。由于$Z=\dfrac {X-170}{6}$，我们有$\dfrac {h-170}{6}\geqslant 2.33$。解这个不等式，我们得到$h\geqslant 170+6\times 2.33$。
步骤 5：计算结果
计算得到$h\geqslant 170+6\times 2.33=170+13.98=183.98$。因此，车门高度应至少为184 cm。