6、某商店出售某种商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数为λ=1的泊松分布，假定各周的销售量是相互独立的，用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率(结果用φ(C)表示)

本题考查泊松分布的期望与方差、独立同分布的中心极限定理以及标准正态分布的性质。解题思路如下：

1. 首先明确每周销售量服从参数为$\lambda = 1$的泊松分布，根据泊松分布的性质求出每周销售量的期望和方差。
2. 然后计算一年（$52$周）总销售量的期望和方差，由于各周销售量相互独立，根据期望和方差的性质可得到总销售量的期望和方差。
3. 接着利用中心极限定理，得出一年总销售量近似服从的正态分布。
4. 再对总销售量进行标准化处理，将所求概率转化为标准正态分布的概率。
5. 最后根据标准正态分布的性质化简概率表达式。

详细解答

1. 计算每周销售量的期望和方差：
   已知$X_i$为第$i$周的销售量，且$X_i \sim \text{Poisson}(1)$。对于泊松分布$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$，其期望$E(X)=\lambda$，方差$D(X)=\lambda$。所以$E(X_i) = D(X_i) = 1$。
2. 计算一年总销售量的期望和方差：
   设一年总销售量$S = \sum_{i=1}^{52} X_i$。因为各周的销售量是相互独立的，根据期望和方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$，$D(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}D(X_i)$。
   所以$E(S)=E(\sum_{i=1}^{52} X_i)=\sum_{i=1}^{52}E(X_i)=52\times1 = 52$，$D(S)=D(\sum_{i=1}^{52} X_i)=\sum_{i=1}^{52}D(X_i)=52\times1 = 52$。
3. 利用中心极限定理确定总销售量的分布：
   由中心极限定理可知，当$n$充分大时（本题$n = 52$），独立同分布的随机变量之和$S$近似服从正态分布$N(E(S),D(S))$，即$S$近似服从$N(52, 52)$。
4. 对总销售量进行标准化处理：
   设$Z=\frac{S - E(S)}{\sqrt{D(S)}}=\frac{S - 52}{\sqrt{52}}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
   要求$P(50 \leq S \leq 70)$，将其标准化可得：
   $\begin{align*}P(50 \leq S \leq 70)&=P\left(\frac{50 - 52}{\sqrt{52}} \leq \frac{S - 52}{\sqrt{52}} \leq \frac{70 - 52}{\sqrt{52}}\right)\\&\approx \varPhi\left(\frac{70 - 52}{\sqrt{52}}\right) - \varPhi\left(\frac{50 - 52}{\sqrt{52}}\right)\end{align*}$
   其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
5. 计算标准化后的数值并化简概率表达式：
   计算$\frac{70 - 52}{\sqrt{52}}\approx 2.5$，$\frac{50 - 52}{\sqrt{52}}\approx -0.28$。
   根据标准正态分布的性质$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，可得$\varPhi(-0.28)=1 - \varPhi(0.28)$。
   所以$P(50 \leq S \leq 70)\approx \varPhi(2.5) - (1 - \varPhi(0.28))=\varPhi(2.5) + \varPhi(0.28) - 1$。