题目

12.设D=(x,y)mid(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)leqslant 1，常数a>0,b>0,aneq b，计算I=iintlimits_(D)[(x-1)^2+(2y+3)^2]dxdy.

12.设$D=\left\{(x,y)\mid\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant 1\right\}$，常数$a>0,b>0,a\neq b$，计算 $I=\iint\limits_{D}[(x-1)^{2}+(2y+3)^{2}]dxdy$.

题目解答

答案

将被积函数展开并利用椭圆对称性，得
$I = \iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 - 2x + 12y + 10) \, dx \, dy.$
由椭圆对称性，$\iint\limits_{D} x \, dx \, dy = 0$，$\iint\limits_{D} y \, dx \, dy = 0$，故
$I = \iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 + 10) \, dx \, dy.$
计算各部分：

  1. $\iint\limits_{D} 10 \, dx \, dy = 10\pi ab$（椭圆面积）；
  2. $\iint\limits_{D} x^2 \, dx \, dy = \frac{\pi a^3 b}{4}$（惯性矩公式）；
  3. $\iint\limits_{D} y^2 \, dx \, dy = \frac{\pi a b^3}{4}$（惯性矩公式）。

合并结果得
$I = \frac{\pi a^3 b}{4} + 4 \cdot \frac{\pi a b^3}{4} + 10\pi ab = \pi ab \left( \frac{a^2}{4} + b^2 + 10 \right).$

答案：
$\boxed{\pi ab \left( \frac{a^2}{4} + b^2 + 10 \right)}$（或$\boxed{\frac{\pi ab}{4} \left( a^2 + 4b^2 + 40 \right)}$）。

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先将被积函数展开，再利用椭圆区域的对称性化简积分，最后分别计算各项积分并求和。

  1. 展开被积函数：
    已知被积函数为$(x - 1)^2 + (2y + 3)^2$，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$和$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开可得：
    $(x - 1)^2 + (2y + 3)^2=x^2 - 2x + 1 + 4y^2 + 12y + 9=x^2 + 4y^2 - 2x + 12y + 10$
    则原积分$I=\iint\limits_{D}[(x - 1)^2 + (2y + 3)^2]dxdy=\iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 - 2x + 12y + 10)dxdy$。
  2. 利用椭圆对称性化简积分：
    积分区域$D=\left\{(x,y)\mid\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant 1\right\}$是关于$x$轴和$y$轴对称的椭圆区域。
    对于奇函数$f(x)$，在关于原点对称的区间上积分为$0$。因为$f(x)=x$是关于$x$的奇函数，$f(y)=y$是关于$y$的奇函数，所以由椭圆对称性可得$\iint\limits_{D} xdxdy = 0$，$\iint\limits_{D} ydxdy = 0$。
    那么$I=\iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 - 2x + 12y + 10)dxdy=\iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 + 10)dxdy$。
  3. 分别计算各项积分：
    • 计算$\iint\limits_{D} 10dxdy$：
      $\iint\limits_{D} 10dxdy = 10\iint\limits_{D} 1dxdy$，其中$\iint\limits_{D} 1dxdy$表示积分区域$D$的面积。
      已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的面积为$\pi ab$，所以$\iint\limits_{D} 10dxdy = 10\pi ab$。
    • 计算$\iint\limits_{D} x^2dxdy$：
      根据椭圆区域的惯性矩公式，$\iint\limits_{D} x^2dxdy = \frac{\pi a^3 b}{4}$。
    • 计算$\iint\limits_{D} y^2dxdy$：
      同理，$\iint\limits_{D} y^2dxdy = \frac{\pi a b^3}{4}$。
  4. 合并结果：
    将上述各项积分结果代入$I=\iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 + 10)dxdy$可得：
    $I = \iint\limits_{D} x^2dxdy + 4\iint\limits_{D} y^2dxdy + \iint\limits_{D} 10dxdy=\frac{\pi a^3 b}{4} + 4\times\frac{\pi a b^3}{4} + 10\pi ab=\pi ab \left( \frac{a^2}{4} + b^2 + 10 \right)$
    对$\pi ab \left( \frac{a^2}{4} + b^2 + 10 \right)$进行通分可得$\frac{\pi ab}{4} \left( a^2 + 4b^2 + 40 \right)$。