X～N ( (1,4) )，(X)_(1),(X)_(2),…(X)_(100)，是来自X的样本，overline(X)为样本均值，已知Y=aoverline(X)+b～N ( (0,1) )，则有 ( (, , , , , ) )A. a=-5,b=5B. a=5,b=5C. a=0.2,b=-0.2D. a=-0.2,b=0.2

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于先根据已知条件求出样本均值$\overline{X}$的分布，再结合$Y = a\overline{X} + b\sim N(0,1)$来确定$a$和$b$的值。

1. 求样本均值$\overline{X}$的分布：
   已知$X\sim N(1,4)$，即总体$X$服从均值为$\mu = 1$，方差为$\sigma^2 = 4$的正态分布。
   根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自$X$的样本，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，则$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
   在本题中，$n = 100$，$\mu = 1$，$\sigma^2 = 4$，所以$\overline{X}\sim N(1,\frac{4}{100})$，即$\overline{X}\sim N(1,0.04)$。
2. 根据$Y = a\overline{X} + b\sim N(0,1)$确定$a$和$b$的值：
   若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$aX + b\sim N(a\mu + b,a^2\sigma^2)$。
   因为$\overline{X}\sim N(1,0.04)$，所以$Y = a\overline{X} + b\sim N(a\times1 + b,a^2\times0.04)$，即$Y\sim N(a + b,0.04a^2)$。
   又因为$Y\sim N(0,1)$，所以可得方程组$\begin{cases}a + b = 0\\0.04a^2 = 1\end{cases}$。
   • 解方程$0.04a^2 = 1$：
     等式两边同时除以$0.04$可得$a^2 = \frac{1}{0.04}=25$，则$a = \pm5$。
   • 当$a = 5$时，代入$a + b = 0$，可得$5 + b = 0$，解得$b = -5$。
   • 当$a = -5$时，代入$a + b = 0$，可得$-5 + b = 0$，解得$b = 5$。