题目
3.已知X1和X2是相互独立的随机变量,分布函数分别为F1(x)和F2 (x),则下列选项一定是-|||-某一随机变量分布函数的为-|||-(A) _(1)(x)+(F)_(2)(x). (B) _(1)(x)-(F)_(2)(x).-|||-(C)F1(x)·F2 (x). (D) dfrac ({F)_(1)(x)}({F)_(2)(x).}
题目解答
答案
解析
步骤 1：检查分布函数的性质
分布函数 $F(x)$ 必须满足以下性质：
- $F(-\infty) = 0$
- $F(+\infty) = 1$
- $F(x)$ 是非减函数
- $F(x)$ 是右连续的
步骤 2：验证每个选项
(A) ${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x) = 1 + 1 = 2$，不满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 因此，(A) 不是分布函数。
(B) ${F}_{1}(x)-{F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x)-{F}_{2}(x) = 1 - 1 = 0$，不满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 因此，(B) 不是分布函数。
(C) ${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x) = 1 \cdot 1 = 1$，满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 当 $x \to -\infty$ 时，${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x) = 0 \cdot 0 = 0$，满足 $F(-\infty) = 0$ 的性质。
- 因此，(C) 是分布函数。
(D) $\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)}$
- 当 $x \to +\infty$ 时，$\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)} = \dfrac{1}{1} = 1$，满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 当 $x \to -\infty$ 时，$\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)} = \dfrac{0}{0}$，结果不确定，不满足 $F(-\infty) = 0$ 的性质。
- 因此，(D) 不是分布函数。
分布函数 $F(x)$ 必须满足以下性质：
- $F(-\infty) = 0$
- $F(+\infty) = 1$
- $F(x)$ 是非减函数
- $F(x)$ 是右连续的
步骤 2：验证每个选项
(A) ${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x)+{F}_{2}(x) = 1 + 1 = 2$，不满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 因此，(A) 不是分布函数。
(B) ${F}_{1}(x)-{F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x)-{F}_{2}(x) = 1 - 1 = 0$，不满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 因此，(B) 不是分布函数。
(C) ${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x)$
- 当 $x \to +\infty$ 时，${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x) = 1 \cdot 1 = 1$，满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 当 $x \to -\infty$ 时，${F}_{1}(x) \cdot {F}_{2}(x) = 0 \cdot 0 = 0$，满足 $F(-\infty) = 0$ 的性质。
- 因此，(C) 是分布函数。
(D) $\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)}$
- 当 $x \to +\infty$ 时，$\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)} = \dfrac{1}{1} = 1$，满足 $F(+\infty) = 1$ 的性质。
- 当 $x \to -\infty$ 时，$\dfrac{{F}_{1}(x)}{{F}_{2}(x)} = \dfrac{0}{0}$，结果不确定，不满足 $F(-\infty) = 0$ 的性质。
- 因此，(D) 不是分布函数。