题目

两正态总体方差比 (sigma_(1)^2)/(sigma_(2)^2) 的 1-a 的置信区间为() A. [(1)/(F_(frac{a){2)}(n_(1)-1,n_(2)-1)}cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2),F_((a)/(2))(n_(2)-1,n_(1)-1)cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2)]B. [F_((a)/(2))(n_(1)-1,n_(2)-1)cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2),F_((a)/(2))(n_(2)-1,n_(1)-1)cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2)]C. [(1)/(F_(frac{a){2)}(n_(1)-1,n_(2)-1)}cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2),F_((a)/(2))(n_(2)-1,n_(1)-1)cdot(S_(2)^2)/(S_(1)^2)]D. [F_((a)/(2))(n_(1)-1,n_(2)-1)cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2),F_(1-(a)/(2))(n_(2),n_(1))cdot(S_(1)^2)/(S_(2)^2)]

两正态总体方差比 $\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}$ 的 $1-a$ 的置信区间为()

  • A. $\left[\frac{1}{F_{\frac{a}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1)}\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}},F_{\frac{a}{2}}(n_{2}-1,n_{1}-1)\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\right]$
  • B. $\left[F_{\frac{a}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1)\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}},F_{\frac{a}{2}}(n_{2}-1,n_{1}-1)\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\right]$
  • C. $\left[\frac{1}{F_{\frac{a}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1)}\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}},F_{\frac{a}{2}}(n_{2}-1,n_{1}-1)\cdot\frac{S_{2}^{2}}{S_{1}^{2}}\right]$
  • D. $\left[F_{\frac{a}{2}}(n_{1}-1,n_{2}-1)\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}},F_{1-\frac{a}{2}}(n_{2},n_{1})\cdot\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\right]$

题目解答

答案

构造枢轴量 $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$，利用 F 分布的性质，得： \[ P\left(F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \leq \frac{S_1^2 \sigma_2^2}{S_2^2 \sigma_1^2} \leq F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)\right) = 1 - \alpha \] 解不等式得： \[ \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \frac{S_1^2}{S_2^2} \leq \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1) \frac{S_1^2}{S_2^2} \] 对应选项 A。 **答案：A**

解析

本题考查正态总体方差比的置信区间的求解，解题思路是通过构造枢轴量，利用 F 分布的性质来求解置信区间。

  1. 构造枢轴量：
    设两正态总体的样本方差分别为 $S_1^2$ 和 $S_2^2$，总体方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$，构造枢轴量 $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 1)$，其中 $n_1$ 和 $n_2$ 分别为两总体的样本容量。
  2. 利用 F 分布的性质：
    对于给定的置信水平 $1 - \alpha$，有 $P\left[F_{\alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1), F_{1 - \alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1)\right]$ 是 F 分布的双侧分位点区间。
    即 $P\left(F_{\alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1) \leq \frac{S_1^2 \sigma_2^2}{S_2^2sigma_1^2} \leq F_{1 - \alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1)\right) = 1 - \alpha$。
  3. 解不等式：
    对不等式 $F_{\alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1) \leq \frac{S_1^2 \sigma_2^2}{S_2^2sigma_1^2} \leq F_{1 - \alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1)$ 等价于 $\frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1 - 1, n_2 - 1)} \frac{S_1^2}{S_2^2} \leq \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq F_{\alpha/2}(n_2 - 1, n_1 - 1) \frac{S_1^2}{S_2^2}$。