(2026,3)A为三阶非零矩阵，A^*为A的伴随矩阵，若A^*=-2A，则A^2=(A)[}-4-4-4].(C)[}-444].

已知 $A$ 为三阶非零矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且满足 $A^* = -2A$。我们需要求出 $A^2$ 的值。 首先，利用伴随矩阵的基本性质：$A A^* = |A| E$，其中 $|A|$ 是矩阵 $A$ 的行列式，$E$ 是三阶单位矩阵。 将已知条件 $A^* = -2A$ 代入上述性质公式中： $$A (-2A) = |A| E$$ $$-2 A^2 = |A| E$$ $$A^2 = -\frac{|A|}{2} E$$ 接下来，我们需要求出 $|A|$ 的值。 对等式 $A^* = -2A$ 两边同时取行列式： $$|A^*| = |-2A|$$ 对于三阶矩阵 $A$（即 $n=3$），根据行列式的性质 $|kA| = k^n |A|$，以及伴随矩阵的行列式性质 $|A^*| = |A|^{n-1}$，我们可以得到： $$|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$$ $$|-2A| = (-2)^3 |A| = -8 |A|$$ 将这两个结果代入 $|A^*| = |-2A|$ 中： $$|A|^2 = -8 |A|$$ $$|A|^2 + 8 |A| = 0$$ $$|A| (|A| + 8) = 0$$ 这给出了两个可能的解：$|A| = 0$ 或 $|A| = -8$。 我们来分析这两种情况： 如果 $|A| = 0$，那么 $A A^* = |A| E = 0$（零矩阵）。 因为已知 $A^* = -2A$，代入得 $A(-2A) = -2A^2 = 0$，即 $A^2 = 0$。 如果 $A^2 = 0$，那么 $A$ 是一个非零的幂零矩阵。 但是，如果 $|A| = 0$，则 $A^*$ 的秩满足 $r(A^*) \le 1$（当 $r(A)=2$ 时 $r(A^*)=1$，当 $r(A)<2$ 时 $r(A^*)=0$）。 而 $A^* = -2A$，且 $A$ 是非零矩阵，所以 $A^*$ 也是非零矩阵。 如果 $r(A) = 2$，则 $r(A^*) = 1$，但 $r(A^*) = r(-2A) = r(A) = 2$，产生矛盾。 如果 $r(A) = 1$，则 $r(A^*) = 0$，即 $A^* = 0$。但 $A^* = -2A \neq 0$，也产生矛盾。 因此，$|A|$ 不能为 $0$。 所以，必须有 $|A| = -8$。 将 $|A| = -8$ 代回前面得到的 $A^2$ 的表达式中： $$A^2 = -\frac{|A|}{2} E = -\frac{-8}{2} E = 4E$$ 即 $A^2$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素均为 $4$： $$A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$ 对比选项，这与选项 (D) 一致。 正确答案是 (D)。