题目
2.设X1,X2,···,Xn是来自正态总体N(μ,σ^2)的样本,下列结论正确的是 ()-|||-A. dfrac (1)(n-1)(sum )_(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2sim (chi )^2(n-1) B. dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2sim (chi )^2(n)-|||-C. dfrac (1)({sigma )^2}sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2sim (chi )^2(n-1) . D. dfrac (1)({sigma )^2}sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2sim (chi )^2(n)
题目解答
答案
C. $\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$
解析
步骤 1：理解样本均值和样本方差的性质
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 2：分析选项
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n)$
C. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
D. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n)$
步骤 3：验证选项
根据样本方差的性质，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。因此，选项 C 正确。
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 2：分析选项
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n)$
C. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$
D. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n)$
步骤 3：验证选项
根据样本方差的性质，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布 $\chi^2(n-1)$。因此，选项 C 正确。