作业1.5.解方程z^3+1=0.

解题思路

本题考查复数方程的求解。可以通过将方程变形为求复数的立方根，利用复数的三角形式和开方公式进行求解；也可以通过因式分解，将三次方程降次，转化为一次和二次方程分别求解。

核心解题步骤

已知方程为 $z^3 + 1 = 0$，移项可得：
$z^3 = -1$

方法一：利用复数开方公式

1. 将等号右边的复数 $-1$ 转化为三角形式。
   复数 $-1$ 的模长 $r = 1$，幅角主值为 $\pi$。
   因此，$-1 = \cos \pi + i \sin \pi$。
   考虑到幅角的周期性，可以写成一般形式：$-1 = \cos(2k\pi + \pi) + i \sin(2k\pi + \pi)$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

2. 根据复数开 $n$ 次方公式求解。
   方程 $z^3 = -1$ 的解即为求 $-1$ 的立方根。
   设 $z = \cos \theta + i \sin \theta$，则：
   $z = [1 \cdot (\cos(2k\pi + \pi) + i \sin(2k\pi + \pi))]^{\frac{1}{3}}$
   根据棣莫弗公式的推广，开三次方后得到：
   $z_k = \cos \frac{2k\pi + \pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi + \pi}{3} \quad (k = 0, 1, 2)$

3. 分别代入 $k$ 的值计算具体的根。

   • 当 $k = 0$ 时：
     $z_0 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
   • 当 $k = 1$ 时：
     $z_1 = \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$
   • 当 $k = 2$ 时：
     $z_2 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

方法二：利用因式分解

1. 将方程左边利用立方和公式进行因式分解：
   $z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$

2. 令每个因式等于 0，分别求解。

   • 由 $z + 1 = 0$，解得：
     $z_1 = -1$
   • 由 $z^2 - z + 1 = 0$，利用一元二次方程求根公式：
     $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
     即解得：
     $z_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
     $z_3 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

综合两种方法，最终结果一致。

标准答案

解：

由方程 $z^3 + 1 = 0$，可得：
$z^3 = -1$

将等号右侧的复数 $-1$ 写成三角形式：
$-1 = \cos \pi + i \sin \pi$

根据复数开方公式，求 $-1$ 的立方根，可得：
$z = \cos \frac{2k\pi + \pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi + \pi}{3} \quad (k = 0, 1, 2)$

分别代入 $k$ 的值进行计算：

当 $k = 0$ 时：
$\begin{aligned} z_0 &= \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} \end{aligned}$

当 $k = 1$ 时：
$\begin{aligned} z_1 &= \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \\ &= \cos \pi + i \sin \pi \\ &= \mathbf{-1} \end{aligned}$

当 $k = 2$ 时：
$\begin{aligned} z_2 &= \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i} \end{aligned}$

答：方程 $z^3 + 1 = 0$ 的解为 $\mathbf{z_1 = -1}$，$\mathbf{z_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}$，$\mathbf{z_3 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i}$。