已知总体 X 的数学期望为 EX=0，方差为 DX=sigma^2，X_1,...,X_n 为总体 X 的一组简单随机样本，bar(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^n X_i，S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n (X_i-bar(X))^2，则下列属于 sigma^2 的无偏估计量的是(）A. n(bar(X))^2 + S^2B. (1)/(2)[n(bar(X))^2 + S^2]C. (n)/(3)(bar(X))^2 + S^2D. (1)/(4)[n(bar(X))^2 + S^2]

考查要点：本题主要考查无偏估计量的判断，涉及样本均值和样本方差的期望计算。

解题核心思路：

1. 无偏估计量的定义：估计量的期望等于被估计的参数。
2. 关键性质：
   • 样本均值 $\bar{X}$ 的方差为 $D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，且 $E(\bar{X}) = 0$（因总体均值为 $0$）。
   • 样本方差 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，即 $E(S^2) = \sigma^2$。
3. 破题关键：对每个选项计算期望，验证是否等于 $\sigma^2$。

选项分析

选项A：$n(\bar{X})^2 + S^2$

• 计算期望：
  $E[n(\bar{X})^2 + S^2] = nE[(\bar{X})^2] + E[S^2]$
  由于 $E[(\bar{X})^2] = D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，代入得：
  $n \cdot \frac{\sigma^2}{n} + \sigma^2 = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2 \neq \sigma^2$
  结论：不是无偏估计量。

选项B：$\frac{1}{2}[n(\bar{X})^2 + S^2]$

• 计算期望：
  $E\left[\frac{1}{2}[n(\bar{X})^2 + S^2]\right] = \frac{1}{2} \cdot E[n(\bar{X})^2 + S^2] = \frac{1}{2} \cdot 2\sigma^2 = \sigma^2$
  结论：是无偏估计量。

选项C：$\frac{n}{3}(\bar{X})^2 + S^2$

• 计算期望：
  $E\left[\frac{n}{3}(\bar{X})^2 + S^2\right] = \frac{n}{3} \cdot \frac{\sigma^2}{n} + \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{3} + \sigma^2 = \frac{4\sigma^2}{3} \neq \sigma^2$
  结论：不是无偏估计量。

选项D：$\frac{1}{4}[n(\bar{X})^2 + S^2]$

• 计算期望：
  $E\left[\frac{1}{4}[n(\bar{X})^2 + S^2]\right] = \frac{1}{4} \cdot 2\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{2} \neq \sigma^2$
  结论：不是无偏估计量。