设 [beta_1 beta_2 beta_3] = [alpha_1 alpha_2 alpha_3] } -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 , 那么, ()A. beta_1, beta_2, beta_3 线性无关B. beta_1, beta_2, beta_3 线性相关C. 若 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线无关, 则 beta_1, beta_2, beta_3 线性无关D. 若 beta_1, beta_2, beta_3 线性相关, 则 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性相关

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、线性变换对向量组线性相关性的影响，以及行列式的性质。

解题核心思路：

1. 矩阵的性质：题目中的变换矩阵是一个特殊的对称矩阵，其行列式为0，说明该矩阵不可逆。
2. 线性相关性传递：若矩阵不可逆，则无论原向量组是否线性无关，经过变换后的向量组必定线性相关。
3. 选项辨析：需结合矩阵的可逆性与向量组线性相关性的逻辑关系，逐一排除错误选项。

破题关键点：

• 计算矩阵行列式，判断其是否可逆。
• 利用矩阵的秩，分析变换后向量组的秩是否降低。

步骤1：计算矩阵的行列式

给定矩阵为：
$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$
该矩阵属于“对角线元素为$a$，非对角线元素为$b$”的形式。其行列式公式为：
$\det(A) = (a - b)^2(a + 2b)$
代入$a = -2$，$b = 1$：
$\det(A) = (-2 - 1)^2 \cdot (-2 + 2 \cdot 1) = (-3)^2 \cdot 0 = 0$
因此，矩阵$A$不可逆。

步骤2：分析向量组的线性相关性

• 矩阵不可逆，说明变换后向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$的秩不超过2，必然线性相关。因此选项B正确。
• 选项C：若$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，但矩阵$A$不可逆，变换后的$\beta$向量组仍线性相关，故C错误。
• 选项D：若$\beta$线性相关，但$\alpha$可能线性相关或无关（例如$\alpha$线性相关时，$\beta$必然线性相关），无法反推$\alpha$必须线性相关，故D错误。