题目

2.设X~N(1,4),Y~N(-2,9)且相互独立，则Z=2X-Y~正态( ， )

2.设X~N(1,4),Y~N(-2,9)且相互独立，则Z=2X-Y~正态( ， )

题目解答

答案

为了确定随机变量 $Z = 2X - Y$ 的分布，已知 $X \sim N(1, 4)$ 和 $Y \sim N(-2, 9)$ 且相互独立，我们需要找到 $Z$ 的均值和方差。

第一步：找到 $Z$ 的均值

两个随机变量线性组合的均值等于它们均值的线性组合。因此，我们有：
$E(Z) = E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y)$
已知 $E(X) = 1$ 和 $E(Y) = -2$，我们将这些值代入方程：
$E(Z) = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$
所以，$Z$ 的均值是 $4$。

第二步：找到 $Z$ 的方差

两个独立随机变量线性组合的方差是它们方差的线性组合，其中系数被平方。因此，我们有：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(2X - Y) = 2^2 \text{Var}(X) + (-1)^2 \text{Var}(Y) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$
已知 $\text{Var}(X) = 4$ 和 $\text{Var}(Y) = 9$，我们将这些值代入方程：
$\text{Var}(Z) = 4 \cdot 4 + 9 = 16 + 9 = 25$
所以，$Z$ 的方差是 $25$。

结论

由于 $X$ 和 $Y$ 都是正态分布的，它们的线性组合 $Z$ 也是正态分布的。因此，$Z$ 的分布是 $N(4, 25)$。

最终答案是：
$\boxed{N(4, 25)}$

解析

本题考查正态分布的性质以及相互独立随机变量线性组合的期望和方差的计算。解题思路是先根据期望的线性性质求出$Z = 2X - Y$的期望，再依据相互独立随机变量线性组合的方差性质求出$Z$的方差，最后根据正态分布的性质确定$Z$的分布。

  1. 计算$Z$的期望$E(Z)$：
    • 对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$、$b$，有$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$。
    • 在$Z = 2X - Y$中，$a = 2$，$b = -1$，已知$X\sim N(1,4)$，则$E(X)=1$；$Y\sim N(-2,9)$，则$E(Y)= - 2$。
    • 根据上述公式可得$E(Z)=E(2X - Y)=2E(X)-E(Y)$。
    • 将$E(X)=1$，$E(Y)= - 2$代入上式：$E(Z)=2\times1-(-2)=2 + 2 = 4$。
  2. 计算$Z$的方差$Var(Z)$：
    • 对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$、$b$，有$Var(aX + bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)$。
    • 在$Z = 2X - Y$中，$a = 2$，$b = -1$，已知$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$。
    • 根据上述公式可得$Var(Z)=Var(2X - Y)=2^{2}Var(X)+(-1)^{2}Var(Y)=4Var(X)+Var(Y)$。
    • 将$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$代入上式：$Var(Z)=4\times4 + 9=16 + 9 = 25$。
  3. 确定$Z$的分布：
    • 因为$X$和$Y$都服从正态分布，且相互独立，根据正态分布的性质，相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
    • 已知$Z$的期望$E(Z)=4$，方差$Var(Z)=25$，所以$Z\sim N(4,25)$。