题目

计算不定积分 int (1)/(sqrt(x)) dx.

计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

题目解答

答案

我们来计算不定积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$

第一步：将被积函数化为幂函数形式

我们知道：
$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

所以原积分可以写成：
$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx$

第二步：使用幂函数的积分公式

幂函数的不定积分公式是：
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$

这里 $ n = -\frac{1}{2} $，显然不等于 -1，所以可以使用该公式。

代入：
$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C$

第三步：化简结果

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

最终答案：

$\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C}$

其中 $ C $ 为积分常数。

解析

本题考查不定积分的计算，具体运用幂函数的积分公式来求解。解题思路如下：

  1. 首先，将被积函数$\frac{1}{\sqrt{x}}$化为幂函数的标准形式$x^n$。因为$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，所以$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$，这样原积分$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$就转化为$\int x^{-\frac{1}{2}} dx$。
  2. 然后，使用幂函数的积分公式$\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$（$n\neq -1$）。在本题中$n = -\frac{1}{2}$，将其代入公式可得：
    • $\int x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C$。
    • 先计算指数部分$-\frac{1}{2}+1=\frac{-1 + 2}{2}=\frac{1}{2}$，则原式变为$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$。
  3. 最后，对结果进行化简。因为$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}$，又因为$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，所以最终结果为$2\sqrt{x}+C$，其中$C$为积分常数。