5.【24贵州】计算极限lim_(ntoinfty)[1+(1)/(3)+(1)/(6)+...+(2)/(n(n+1))]

本题考查数列极限的计算，解题的关键思路是先对数列的通项公式进行裂项相消，化简求和式，再求极限。

1. 对通项公式进行裂项：
   已知数列的通项公式为$\frac{2}{k(k + 1)}$，将其分解为部分分数，根据分式裂项的方法$\frac{1}{k(k + 1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k + 1}$，可得$\frac{2}{k(k + 1)} = 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\right)$。
2. 化简求和式：
   原和式$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{2}{n(n + 1)}$可表示为$\sum_{k = 1}^{n}\frac{2}{k(k + 1)}$，把$\frac{2}{k(k + 1)} = 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\right)$代入可得：
   $\sum_{k = 1}^{n}\frac{2}{k(k + 1)} = 2\sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\right)$
   展开$2\sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\right)$：
   当$k = 1$时，$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$；
   当$k = 2$时，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
   当$k = 3$时，$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
   $\cdots$
   当$k = n$时，$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
   可以发现相邻两项可以相互抵消，最终得到$2\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)$。
3. 求极限：
   要求$\lim_{n\to\infty}\left[1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{2}{n(n + 1)}\right]$，即求$\lim_{n\to\infty}2\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)$。
   根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(a\cdot b)=a\cdot\lim_{n\to\infty}b$（$a$为常数），可得$\lim_{n\to\infty}2\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)=2\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)$。
   又因为$\lim_{n\to\infty}1 = 1$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 1} = 0$，再根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(a - b)=\lim_{n\to\infty}a-\lim_{n\to\infty}b$，可得$2\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)=2\left(\lim_{n\to\infty}1 - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 1}\right)=2\times(1 - 0)=2$。