题目

24.设总体 approx N(mu ,(sigma )^2), 其中μ未知, (sigma )^2=4, (X1,X2,···,Xn)为其一个样本。-|||-(1)当 n=16 时,试求置信度分别为0.9和0.95的μ的置信区间的长度;-|||-(2)n多大,方能使μ的0.9置信区间的长度不超过1?-|||-(3)n多大,方能使μ的0.95置信区间的长度不超过1?

题目解答

答案

解析

本题主要主要考查正态总体均值的置信区间相关知识。解题的置信区间公式为$\left(\overline{X}-zz_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，其中$\overline{X}$是样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。置信区间长度$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

（1）当$n = 16$时，求置信度分别为$0.9$和$0.95$的$\mu$的置信区间的长度

  • 置信度为$0.9$时：
    • 首先，根据置信度$1 - \alpha=0.9$，可得$\alpha = 1 - 0.9 = 0.1$，那么$\frac{\alpha}{2}=0.05$。
    • 查标准正态分布表可得$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}\approx1.645$。
    • 已知$\sigma^{2}=4$，则$\sigma = 2$，$n = 16$。
    • 根据置信区间长度公式$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将数值代入可得：
      $L_1 = 2\times1.645\times\frac{2}{\sqrt{16}}=2\times1.65\times\frac{2}{4}=1.65$。
  • 置信度为$0.95$时：
    • 由置信度$1 - \alpha = 0.95$，可得$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，则$\frac{\frac{\alpha}{2}} = 0.025$。
    • 查标准正态分布表得$z_{\frac{\frac{\alpha}{2}}}=z_{0.025}=1.96$。
    • 同样$\sigma = 2 = 4$，即$\sigma = 2$，$n = 16$。
    • 代入置信区间长度公式可得：
      $L_2=2\times1.96\times\frac{2}{\sqrt{16}}=2\times1.96\times\frac{2}{4}=1.96$

（2）求使$\mu$的$0.9$置信区间的长度不超过$1$时$n$的大小

  • 已知置信度$1 - \alpha=0.9$，则$\alpha = 0.1$，$\frac{\alpha}{2}=0.05$，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}\approx1.645$，$\sigma = 2$。
  • 由置信区间长度公式$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq1$，可得$2\times1.645\times\frac{2}{\sqrt{n}}\leq1}}$。
  • 对不等式进行变形求解$n$：
    • 先化简不等式$2\times1.645\times\frac{2}{\sqrt{n}}\leq1$为$\frac{6.58}{\sqrt{n}}\leq1$。
    • 进一步得到$\sqrt{n}\geq6.58$。
    • 两边同时平方可得$n\geq6.58^{2}=43.3$。
    • 因为$n$为样本容量，必须为整数，所以$n\geq44$。

（3）求使$\mu$的$0.95$置信区间的长度不超过$1$时$n$的大小

  • 已知置信度$1 - \alpha = 0.95$，则$\alpha=0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96$，$\sigma = 2$。
  • 由置信区间长度公式$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\leq1$，可得$2\times1.96\times\frac{2}{\sqrt{n}}\leq1$。
  • 对不等式进行变形求解$n$：
    • 先化简不等式$2\times1.96\times\frac{2}{\sqrt{n}}\leq1$为$\frac{7.84}{\sqrt{n}}\leq1$。
    • 进一步得到$\sqrt{n}\geq7.84$。
    • 两边同时平方可得$n\geq7.84^{2}=61.4656$。
    • 因为$n$为样本容量，必须为整数，所以$n\geq62$。