题目

设总体sim N(mu ,9)，sim N(mu ,9)为未知参数，sim N(mu ,9)是取自总体X的简单随机样本，如果以区间sim N(mu ,9)作为sim N(mu ,9)的置信区间，则sim N(mu ,9)的置信度是________.(sim N(mu ,9))

设总体 $X\sim N(\mu,9)$ ， $\mu$ 为未知参数， $X_1,\dots,X_{36}$ 是取自总体X的简单随机样本，如果以区间 $(\overline{X}-1,\overline{X}+1)$ 作为 $\mu$ 的置信区间，则 $\mu$ 的置信度是________.( $\Phi(2)=0.9772$ )

题目解答

答案

$X\sim N(\mu,9)$ 表示总体X服从均值为 $\mu$ ，标准差 $\sigma=3$ 的正态分布， $X_1,\dots,X_{36}$ 是取自总体X的简单随机样本，则样本量 $n=36$ ，总体标准差已知，则总体均值 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}},\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}})$ ，已知区间 $(\overline{X}-1,\overline{X}+1)$ 是 $\mu$ 的置信区间，则 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}=1$ ，则 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\sqrt{36}}z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}z_{\frac{\alpha}{2}}=1$ ，则 $z_{\frac{\alpha}{2}}=2=\Phi\left(0.9772\right)$ ，则 $1-\frac{\alpha}{2}=0.9772$ ，则 $\alpha=2\left(1-0.9772\right)=0.0456$ ，则 $\mu$ 的置信度是 $1-\alpha=1-0.0456=0.9544$ .

解析

步骤 1：确定总体分布和样本信息
总体$X\sim N(\mu ,9)$，表示总体X服从均值为$\mu$，方差为$9$的正态分布。样本${X}_{1},\cdots ,{X}_{36}$是取自总体X的简单随机样本，样本量$n=36$。

步骤 2：计算总体均值的置信区间
由于总体方差已知，总体均值$\mu$的置信区间为$(\overline {X}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {\alpha }{2},\overline {X}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {\alpha }{2})$，其中$\sigma =3$，$n=36$，$z\dfrac {\alpha }{2}$是标准正态分布的分位数。

步骤 3：确定置信区间
已知区间$(\overline {X}-1,\overline {X}+1)$是$\mu$的置信区间，因此$\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {\alpha }{2}=1$。代入$\sigma =3$和$n=36$，得到$\dfrac {3}{\sqrt {36}}z\dfrac {\alpha }{2}=1$，即$\dfrac {1}{2}z\dfrac {\alpha }{2}=1$，从而$z\dfrac {\alpha }{2}=2$。

步骤 4：计算置信度
由$z\dfrac {\alpha }{2}=2$，查标准正态分布表得到$\Phi (2)=0.9772$，即$1-\dfrac {\alpha }{2}=0.9772$，从而$\alpha =2(1-0.9772)=0.0456$。因此，置信度为$1-\alpha =1-0.0456=0.9544$。