设总体 X 的概率密度为 f(x; theta)= theta x^theta-1 (0 0 是未知参数，(X_1, X_2, ..., X_n) 是来自于 X 的一组样本，则 theta 的矩估计量为().A. (1 - overline(X))/(overline(X))B. (overline(X))/(overline(X) - 1)C. (overline(X))/(1 - overline(X))D. (overline(X))/(1 + overline(X))

本题考查矩估计的知识和解题思路。矩估计的基本思想是用样本矩来估计总体矩。具体步骤如下：

1. 首先求总体 $X$ 的一阶矩（即期望 $E(X)$）：
   已知总体 $X$ 的概率密度为 $f(x; \theta)= \theta x^{\theta-1} (0 < x < 1)$，$\theta > 0$ 是未知参数。
   根据期望的计算公式 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，可得：
   $\begin{align*} E(X)&=\int_{0}^{1}x\cdot\theta x^{\theta-1}dx\\ &=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}dx\\ &=\theta\cdot\frac{x^{\theta + 1}}{\theta + 1}\big|_{0}^{1}\\ &=\frac{\theta}{\theta + 1} \end{align*}$
2. 然后用样本一阶矩（即样本均值 $\overline{X}$）来估计总体一阶矩 $E(X)$：
   设样本均值为 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，令 $E(X)=\overline{X}$，即 $\frac{\theta}{\theta + 1}=\overline{X}$。
3. 最后求解 $\theta$：
   对 $\frac{\theta}{\theta + 1}=\overline{X}$ 进行求解，交叉相乘可得：
   $\theta=\overline{X}(\theta + 1)$，展开得 $\theta=\overline{X}\theta+\overline{X}$，移项得 $\theta-\overline{X}\theta=\overline{X}$，即 $\theta(1 - \overline{X})=\overline{X}$，解得 $\theta=\frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}$。