题目

1.(10.0分)用米尺(分度值为1mm)测量一物体长度，测得数值为：98.98cm、98.94cm、98.96cm、98.97cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm。已经求得物体长度的平均值 overline(L)=98.97(cm)，则标准误差 sigma_(L) 为（）A sigma_(L)=sqrt((1)/((n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.02(cm);B sigma_(L)=sqrt((1)/(n(n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.012(cm);C sigma_(L)=sqrt((1)/((n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.02(cm);D sigma_(L)=sqrt((1)/((n-1))sum_(i=1)^n(L_{i)-overline(L))^2}=0.012(cm).

1.(10.0分)用米尺(分度值为1mm)测量一物体长度，测得数值为：98.98cm、98.94cm、98.96cm、98.97cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm。已经求得物体长度的平均值 $\overline{L}=98.97(cm)$，则标准误差 $\sigma_{L}$ 为（） A $\sigma_{L}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.02(cm)$; B $\sigma_{L}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.012(cm)$; C $\sigma_{L}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.02(cm)$; D $\sigma_{L}=\sqrt{\frac{1}{(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(L_{i}-\overline{L})^{2}}=0.012(cm)$.

题目解答

答案

根据题目数据，$\sum_{i=1}^{7} (L_i - \overline{L})^2 = 0.0024$。 单次测量标准偏差为： \[ \sigma = \sqrt{\frac{0.0024}{6}} = 0.02 \, \text{cm}. \] 若按 $\sigma_L = \sigma / \sqrt{n}$，则 $\sigma_L \approx 0.00756 \, \text{cm}$，但题目要求的是： \[ \sigma_L = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (L_i - \overline{L})^2} = 0.02 \, \text{cm}. \] 因此，正确答案为： \[ \sigma_L = 0.02 \, \text{cm}. \] 答案：C. $\sigma_L = \sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^{n} (L_i - \overline{L})^2} = 0.02 \, \text{cm}$.

解析

考查要点：本题主要考查标准误差（样本标准差）的计算方法，需明确区分总体标准差与样本标准差的公式差异。

解题核心思路：

  1. 确定数据性质：题目中给出的是多次测量数据，属于样本数据，因此应采用样本标准差公式。
  2. 公式选择：样本标准差公式为 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$，其中 $n$ 为测量次数。
  3. 计算验证：代入题目中已给出的 $\sum (L_i - \overline{L})^2 = 0.0024$ 和 $n=7$，验证选项的正确性。

破题关键点：

  • 分母为 $n-1$：样本标准差公式中，分母为自由度 $n-1$，而非 $n$，这是为了消除偏差对估计值的影响。
  • 排除干扰项：注意选项中可能混淆总体标准差公式或错误计算结果。

公式推导

  1. 样本标准差公式：
    根据题意，标准误差 $\sigma_L$ 是样本标准差，公式为：
    $\sigma_L = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (L_i - \overline{L})^2}$
    其中 $n=7$，$\sum (L_i - \overline{L})^2 = 0.0024$。

  2. 代入计算：
    $\sigma_L = \sqrt{\frac{0.0024}{7-1}} = \sqrt{\frac{0.0024}{6}} = \sqrt{0.0004} = 0.02 \, \text{cm}.$

选项分析

  • 选项A与C：公式相同，结果均为 $0.02 \, \text{cm}$，但可能存在排版重复，正确答案为 C。
  • 选项B与D：分母或计算错误，结果不符合推导。