题目
设x1,x2···,x5为来自总体x1,x2···,x5的样本，x1,x2···,x5，x1,x2···,x5，x1,x2···,x5与x1,x2···,x5分别为样本均值和样本方差，则x1,x2···,x5，x1,x2···,x5。
设
为来自总体
的样本，
，
，
与
分别为样本均值和样本方差，则
，
。
题目解答
答案
已知为来自总体的样本，
，，，与分别为样本均值和样本方差，根据期望与方差的性质得
，
。
解析
步骤 1：计算样本均值的期望
根据样本均值的定义，样本均值$\overline{X}$是所有样本值的平均值。对于一个随机样本$x_1, x_2, \ldots, x_5$，样本均值$\overline{X}$可以表示为$\overline{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i$。根据期望的线性性质，$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i\right) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} E(x_i)$。由于每个$x_i$都是来自同一总体的样本，它们的期望值都是$E(X)$，所以$E(\overline{X}) = \frac{1}{5} \times 5 \times E(X) = E(X)$。因此，$E(\overline{X}) = 2$。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值$\overline{X}$的方差$Var(\overline{X})$可以通过方差的性质来计算。对于一个随机样本$x_1, x_2, \ldots, x_5$，样本均值$\overline{X}$的方差可以表示为$Var(\overline{X}) = Var\left(\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i\right) = \frac{1}{5^2} \sum_{i=1}^{5} Var(x_i)$。由于每个$x_i$都是来自同一总体的样本，它们的方差都是$Var(X)$，所以$Var(\overline{X}) = \frac{1}{5^2} \times 5 \times Var(X) = \frac{Var(X)}{5}$。因此，$Var(\overline{X}) = \frac{25}{5} = 5$。
根据样本均值的定义，样本均值$\overline{X}$是所有样本值的平均值。对于一个随机样本$x_1, x_2, \ldots, x_5$，样本均值$\overline{X}$可以表示为$\overline{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i$。根据期望的线性性质，$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i\right) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} E(x_i)$。由于每个$x_i$都是来自同一总体的样本，它们的期望值都是$E(X)$，所以$E(\overline{X}) = \frac{1}{5} \times 5 \times E(X) = E(X)$。因此，$E(\overline{X}) = 2$。
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值$\overline{X}$的方差$Var(\overline{X})$可以通过方差的性质来计算。对于一个随机样本$x_1, x_2, \ldots, x_5$，样本均值$\overline{X}$的方差可以表示为$Var(\overline{X}) = Var\left(\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i\right) = \frac{1}{5^2} \sum_{i=1}^{5} Var(x_i)$。由于每个$x_i$都是来自同一总体的样本，它们的方差都是$Var(X)$，所以$Var(\overline{X}) = \frac{1}{5^2} \times 5 \times Var(X) = \frac{Var(X)}{5}$。因此，$Var(\overline{X}) = \frac{25}{5} = 5$。