题目
【题目】一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机地,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5,若售出300只蛋糕,1)求收入至少400元的概率(2)求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率
【题目】一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机地,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5,若售出300只蛋糕,1)求收入至少400元的概率(2)求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率
题目解答
答案
【解析】解设第i只蛋糕的价格为X,i=1,2,…,300,则X,有分布律为11.21.5p0.30.20.5由此得E(X_i)=1*0.3+1.2*0.2+1.5*0.5=1.29 E(X_i^2=1^2*0.3+1.2^2*0.2+1.5^2*0.5=1.713 ,故D(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2=0.0489 X=∑_(i=1)^(200)X_i (1)以X表示这天的总收入,则,由中心极限定理得P(X≥400)=P(400≤X0.) =P((400-300*1.29)/(|√(305)√(0.0489))≤(∑_(i-1)^nx_i-300*1.29)/(√(300))√(0.048 (cos-300*1.29)/(√(300)√(0.0489)) ≈1-0.9997=0.0003 (2)以Y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕的只数,于是Y～b(300,0.2). E(Y)=300*0.2 , D(Y)=300*0.2*0.8 ,由棣莫弗-拉普拉斯定理得P(Y60)=1-P(Y≤60) =1-P((X-300*0.2)/)(√(300*0.2*0.8)≤(60-300*0.2)/)(√(300*0.2*0.8)) ≈1-Φ((60-300*0.2)/(√(300*0.2*0.8))=1-Φ(0)=0.5
解析
步骤 1：定义随机变量
设第i只蛋糕的价格为X_i，i=1,2,…,300。则X_i有分布律为：
X_i: 1, 1.2, 1.5
p: 0.3, 0.2, 0.5
步骤 2：计算期望和方差
E(X_i) = 1*0.3 + 1.2*0.2 + 1.5*0.5 = 1.29
E(X_i^2) = 1^2*0.3 + 1.2^2*0.2 + 1.5^2*0.5 = 1.713
D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.713 - 1.29^2 = 0.0489
步骤 3：计算总收入的期望和方差
设总收入为X，则X = ∑_(i=1)^(300)X_i
E(X) = 300 * E(X_i) = 300 * 1.29 = 387
D(X) = 300 * D(X_i) = 300 * 0.0489 = 14.67
步骤 4：计算收入至少400元的概率
P(X ≥ 400) = P((X - 387) / √14.67 ≥ (400 - 387) / √14.67)
≈ 1 - Φ((400 - 387) / √14.67)
≈ 1 - Φ(3.33)
≈ 1 - 0.9996
≈ 0.0004
步骤 5：计算售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率
设售出价格为1.2元的蛋糕数量为Y，则Y～b(300, 0.2)
E(Y) = 300 * 0.2 = 60
D(Y) = 300 * 0.2 * 0.8 = 48
P(Y > 60) = 1 - P(Y ≤ 60)
≈ 1 - Φ((60 - 60) / √48)
≈ 1 - Φ(0)
≈ 0.5
设第i只蛋糕的价格为X_i，i=1,2,…,300。则X_i有分布律为：
X_i: 1, 1.2, 1.5
p: 0.3, 0.2, 0.5
步骤 2：计算期望和方差
E(X_i) = 1*0.3 + 1.2*0.2 + 1.5*0.5 = 1.29
E(X_i^2) = 1^2*0.3 + 1.2^2*0.2 + 1.5^2*0.5 = 1.713
D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.713 - 1.29^2 = 0.0489
步骤 3：计算总收入的期望和方差
设总收入为X，则X = ∑_(i=1)^(300)X_i
E(X) = 300 * E(X_i) = 300 * 1.29 = 387
D(X) = 300 * D(X_i) = 300 * 0.0489 = 14.67
步骤 4：计算收入至少400元的概率
P(X ≥ 400) = P((X - 387) / √14.67 ≥ (400 - 387) / √14.67)
≈ 1 - Φ((400 - 387) / √14.67)
≈ 1 - Φ(3.33)
≈ 1 - 0.9996
≈ 0.0004
步骤 5：计算售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率
设售出价格为1.2元的蛋糕数量为Y，则Y～b(300, 0.2)
E(Y) = 300 * 0.2 = 60
D(Y) = 300 * 0.2 * 0.8 = 48
P(Y > 60) = 1 - P(Y ≤ 60)
≈ 1 - Φ((60 - 60) / √48)
≈ 1 - Φ(0)
≈ 0.5