求心形线 =a(1+cos theta ) 的切线与切点向径之间的夹角.

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出心形线 $r=a(1+\cos \theta )$ 的导数 $r'(\theta)$。根据导数的定义，我们有：
$$
r'(\theta) = \frac{dr}{d\theta} = a(-\sin \theta)
$$
步骤 2：计算切线与切点向径之间的夹角
根据极坐标系中切线与切点向径之间的夹角公式，我们有：
$$
\tan \varphi = \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}
$$
将 $r(\theta)$ 和 $r'(\theta)$ 的表达式代入上式，得到：
$$
\tan \varphi = \frac{a(1+\cos \theta)}{a(-\sin \theta)} = \frac{1+\cos \theta}{-\sin \theta}
$$
步骤 3：化简表达式
利用半角公式 $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$，我们可以将上式化简为：
$$
\tan \varphi = -\cot \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\theta + \pi}{2}
$$
步骤 4：确定夹角
根据 $\tan \varphi = \tan \frac{\theta + \pi}{2}$，我们可以得到：
$$
\varphi = \frac{\theta + \pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
由于 $\varphi$ 是夹角，因此我们需要确定 $\varphi$ 的取值范围。根据题意，当 $0 \leqslant \theta < \pi$ 时，$\varphi = \frac{\theta + \pi}{2}$；当 $\pi \leqslant \theta < 2\pi$ 时，$\varphi = \frac{\theta + \pi}{2} - \pi = \frac{\theta - \pi}{2}$。