2.设X_(1),X_(2),...,X_(6)是取自正态总体Xsim N(0,(1)/(2))的样本，试确定统计量Y=(sqrt(2)(X_(1)-X_(2)))/(sum_(1)^6X_{i)^2}服从的分布。

本题主要考察正态分布、卡方分布及t分布的性质，关键是将给定统计量转化为t分布的标准形式$t(n)=\frac{U}{\sqrt{V/n}}$（其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^2(n)$且$U$与$V$独立）。

步骤1：变量替换简化正态变量

总体$X\sim N(0,\frac{1}{2})$，样本$X_1,\cdots,X_6$独立同分布，故每个$X_i\sim N(0,\frac{1}{2})$。
令$Z_i=\sqrt{2}X_i$，则$Z_i\sim N N(0,1)$（因$X_i=\frac{1}{\sqrt{1/2}}=\sqrt{2}$，标准化后为标准正态），且$Z_1,\cdots,Z_6$独立。

步骤2：分析分子的分布

分子：$\sqrt{2}(X_1-X_2)=Z_1-Z_2$。
由于$Z_1,Z_2$独立正态，$Z_1-Z_2\sim N(0,1+1)=N(0,2)$，标准化得：
$U=\frac{Z_1-Z_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$

步骤3：分析分母的卡方分布

分母：$\sum_{i=1}^6X_i^2=\sum_{i=1}^6\left(\frac{Z_i}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^6Z_i^2$。
$\sum_{i=1}^6Z_i^2\sim\chi^2(6)$（独立标准正态变量平方和为卡方分布，自由度6），但注意：$U=\frac{Z_1-Z_2}{\sqrt{2}}$仅依赖$Z_1,Z_2$，与$Z_3,\cdots,Z_6$独立，故$\sum_{i=3}^6Z_i^2\sim\chi^2(4)$（自由度4），且与$U$独立。

步骤4：统计量转化为t分布

将$Y$改写为：
$Y=\frac{\sqrt{2}(X_1-X_2)}{\sum_{i=1}^6X_i^2=\frac{Z_1-Z_2}{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^6Z_i^2}\cdot\sqrt{2}=\frac{U}{\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=3}^6Z_i^2}}$
（分母中$\sum_{i=1}^6Z_i^2=\sum_{i=1}^2Z_i^2+\sum_{i=3}^6Z_i^2$，但$\sum_{i=1}^2Z_i^2=2U^2$，与$U$不独立，故仅保留$\sum_{i=3}^6Z_i^2$）
进一步：
$Y=\frac{U}{\sqrt{\frac{\sum_{i=3}^6Z_i^2}{4}}\sim t(4)$
（因$U\sim N(0,1)$，$\sum_{i=3}^6Z_i^2\sim\chi^2(4)$且独立，符合t分布定义）