题目
1.设总体X的分布律为-|||-x 1 2 3-|||-pk θ^2 (1-theta ) ((1-{theta ))^2}-|||-其中, theta (0lt theta lt 1) 为未知参数.现抽得一个样本 _(1)=1 , _(2)=2 , x3=1, 求θ的矩估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
总体X的期望值E(X)可以通过分布律计算，即
\[E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2\]
\[= \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2\]
\[= \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2\]
\[= 3 - 2\theta\]
步骤 2：计算样本均值
样本均值$\bar{x}$是样本值的平均值，即
\[\bar{x} = \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}\]
步骤 3：利用矩估计法求解θ
矩估计法是通过使总体的矩等于样本的矩来估计参数的方法。这里，我们使总体的期望值E(X)等于样本均值$\bar{x}$，即
\[3 - 2\theta = \frac{4}{3}\]
解这个方程，得到
\[2\theta = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\]
\[\theta = \frac{5}{6}\]
总体X的期望值E(X)可以通过分布律计算，即
\[E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2\]
\[= \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2\]
\[= \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2\]
\[= 3 - 2\theta\]
步骤 2：计算样本均值
样本均值$\bar{x}$是样本值的平均值，即
\[\bar{x} = \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}\]
步骤 3：利用矩估计法求解θ
矩估计法是通过使总体的矩等于样本的矩来估计参数的方法。这里，我们使总体的期望值E(X)等于样本均值$\bar{x}$，即
\[3 - 2\theta = \frac{4}{3}\]
解这个方程，得到
\[2\theta = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\]
\[\theta = \frac{5}{6}\]