设总体 X sim U(theta-1, theta+1), 样本 X_1, X_2, ..., X_n, 则参数 theta 的充分统计量是 ( )A. X_((1))B. X_((n))C. (X_((1)), X_((n)))D. bar(X)

考查要点：本题主要考查充分统计量的判断，涉及均匀分布的参数估计及因子分解定理的应用。

解题核心思路：

1. 联合概率密度函数的构造是关键，需明确均匀分布的区间依赖于参数$\theta$。
2. 通过因子分解定理，将联合密度函数分解为仅依赖统计量的部分和与参数无关的部分，从而确定充分统计量。
3. 极值统计量（最小值$X_{(1)}$和最大值$X_{(n)}$）共同限定了$\theta$的取值范围，因此它们的组合是充分统计量。

破题关键点：

• 明确均匀分布的区间约束条件，即所有样本必须同时满足$\theta-1 \leq X_i \leq \theta+1$。
• 通过极值统计量$X_{(1)}$和$X_{(n)}$的联合条件，推导出$\theta$的范围，进而确定充分统计量。

步骤1：写出联合概率密度函数
总体$X \sim U(\theta-1, \theta+1)$的密度函数为：
$f(x;\theta) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \theta-1 \leq x \leq \theta+1, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
样本的联合密度函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i;\theta) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot I_{[\theta-1 \leq X_{(1)}]} \cdot I_{[X_{(n)} \leq \theta+1]}.$

步骤2：分析$\theta$的约束条件
所有样本满足$\theta-1 \leq X_i \leq \theta+1$等价于：
$\theta \geq X_{(1)} - 1 \quad \text{且} \quad \theta \leq X_{(n)} + 1.$
因此，$\theta$的取值范围为$[X_{(1)} - 1, X_{(n)} + 1]$。

步骤3：应用因子分解定理
联合密度函数可分解为：
$L(\theta) = \underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^n}_{h(\mathbf{X})} \cdot \underbrace{I_{[X_{(1)} - 1 \leq \theta \leq X_{(n)} + 1]}}_{g((X_{(1)}, X_{(n)}), \theta)}.$
其中，统计量$(X_{(1)}, X_{(n)})$包含了关于$\theta$的所有信息，因此是充分统计量。