15.设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为sigma_(i)(i=1,2,···,k).用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X_(1),X_(2),···,X_(k).设仪器都没有系统误差，即E(X_(i))=theta(i=1,2,···,k).问a_(1),a_(2),···,a_(k)取何值，方能使使用hat(theta)=sum_(i=1)^ka_(i)X_(i)估计θ时，hat(theta)是无偏的，并且D(hat(theta))最小?

考查要点：本题主要考查无偏估计和方差最小化的条件，以及如何通过优化方法（拉格朗日乘数法）求解最优系数。

解题核心思路：

1. 无偏性条件：估计量的期望等于被估计参数θ，由此得到系数$a_i$的和为1。
2. 方差最小化：在无偏性约束下，通过优化方法最小化估计量的方差，此时各系数与对应仪器的方差（标准差平方）成反比。

破题关键点：

• 无偏性约束：$\sum_{i=1}^k a_i = 1$。
• 方差表达式：$D(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2$，需在此约束下求最小值。
• 拉格朗日乘数法：用于处理带约束的优化问题，最终得到$a_i$的表达式。

1. 无偏性条件

估计量$\hat{\theta} = \sum_{i=1}^k a_i X_i$的期望为：
$E(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^k a_i E(X_i) = \sum_{i=1}^k a_i \theta = \theta \sum_{i=1}^k a_i.$
要使$\hat{\theta}$无偏，需满足$E(\hat{\theta}) = \theta$，因此：
$\sum_{i=1}^k a_i = 1.$

2. 方差最小化

估计量的方差为：
$D(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^k a_i^2 D(X_i) = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2.$
在约束$\sum_{i=1}^k a_i = 1$下，需最小化上述方差。

3. 拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：
$\mathcal{L} = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2 + \lambda \left( \sum_{i=1}^k a_i - 1 \right).$
对每个$a_i$求偏导并令其为0：
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_i} = 2 a_i \sigma_i^2 + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad a_i = -\frac{\lambda}{2 \sigma_i^2}.$
代入约束条件$\sum_{i=1}^k a_i = 1$：
$\sum_{i=1}^k \left( -\frac{\lambda}{2 \sigma_i^2} \right) = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2 \sum_{j=1}^k \frac{1}{\sigma_j^2}.$
最终得到：
$a_i = \frac{\frac{1}{\sigma_i^2}}{\sum_{j=1}^k \frac{1}{\sigma_j^2}}.$