题目
[题目]假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70-|||-可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试-|||-后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格不能-|||-出厂.现该厂新生产了 (ngeqslant 2) 台仪器(假设各台仪-|||-器的生产过程相互独立)。求:-|||-(1)全部能出厂的概率α;-|||-(2)其中恰好有两件不能出厂的概率β ;-|||-(3)其中至少有两件不能出厂的概率0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
定义事件A为仪器需进一步调试，事件B为仪器能出厂。则$\overline{A}$为仪器可以直接出厂，$AB$为仪器需进一步调试且调试后能出厂。
步骤 2：计算事件B的概率
由题意知，$P(A)=0.3$，$P(B|A)=0.8$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3\times 0.8=0.24$。因此，$P(B)=P(\overline{A})+P(AB)=0.7+0.24=0.94$。
步骤 3：计算全部能出厂的概率
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从参数为(n,0.94)的二项分布。因此，全部能出厂的概率为$\alpha = P(X=n) = {0.94}^n$。
步骤 4：计算恰好有两件不能出厂的概率
恰好有两件不能出厂的概率为$\beta = P(X=n-2) = {C}_{n}^{2}{0.94}^{n-2}{0.06}^{2}$。
步骤 5：计算至少有两件不能出厂的概率
至少有两件不能出厂的概率为$\theta = P(X\leqslant n-2) = 1 - P(X=n-1) - P(X=n) = 1 - n\times {0.94}^{n-1}\times 0.06 - {0.94}^{n}$。
定义事件A为仪器需进一步调试，事件B为仪器能出厂。则$\overline{A}$为仪器可以直接出厂，$AB$为仪器需进一步调试且调试后能出厂。
步骤 2：计算事件B的概率
由题意知，$P(A)=0.3$，$P(B|A)=0.8$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3\times 0.8=0.24$。因此，$P(B)=P(\overline{A})+P(AB)=0.7+0.24=0.94$。
步骤 3：计算全部能出厂的概率
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从参数为(n,0.94)的二项分布。因此，全部能出厂的概率为$\alpha = P(X=n) = {0.94}^n$。
步骤 4：计算恰好有两件不能出厂的概率
恰好有两件不能出厂的概率为$\beta = P(X=n-2) = {C}_{n}^{2}{0.94}^{n-2}{0.06}^{2}$。
步骤 5：计算至少有两件不能出厂的概率
至少有两件不能出厂的概率为$\theta = P(X\leqslant n-2) = 1 - P(X=n-1) - P(X=n) = 1 - n\times {0.94}^{n-1}\times 0.06 - {0.94}^{n}$。