题目

设总体 X 的密度函数为 [ f(x)= } theta x^theta-1, & 0 < x < 1, 0, & (其他), ] theta > 0为未知参数), X_1, X_2, ldots, X_n为总体 X的样本,若求 theta的最大似然估计,则似然函数为() A. L(theta)= ntheta(sum_(i=1)^n x_i)^theta-1, 0 < x_i < 1, i = 1, 2, ldots, nB. L(theta)= theta^n(sum_(i=1)^n x_i)^theta-1, 0 < x_i < 1, i = 1, 2, ldots, nC. L(theta)= ntheta(prod_(i=1)^n x_i)^theta-1, 0 < x_i < 1, i = 1, 2, ldots, nD. L(theta)= theta^n(prod_(i=1)^n x_i)^theta-1, 0 < x_i < 1, i = 1, 2, ldots, n

设总体 $X$ 的密度函数为

$f(x)= \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$

$\theta > 0$为未知参数), $X_1, X_2, \ldots, X_n$为总体 $X$的样本,若求 $\theta$的最大似然估计,则似然函数为()

  • A. $L(\theta)= n\theta(\sum_{i=1}^{n} x_i)^{\theta-1}$, $0 < x_i < 1, i = 1, 2, \ldots, n$
  • B. $L(\theta)= \theta^n(\sum_{i=1}^{n} x_i)^{\theta-1}$, $0 < x_i < 1, i = 1, 2, \ldots, n$
  • C. $L(\theta)= n\theta(\prod_{i=1}^{n} x_i)^{\theta-1}$, $0 < x_i < 1, i = 1, 2, \ldots, n$
  • D. $L(\theta)= \theta^n(\prod_{i=1}^{n} x_i)^{\theta-1}$, $0 < x_i < 1, i = 1, 2, \ldots, n$

题目解答

答案

似然函数 $L(\theta)$ 是样本联合密度函数的乘积。对于给定的密度函数 $f(x) = \theta x^{\theta-1}$（当 $0 < x < 1$ 时），似然函数为： $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} $$ 分解乘积得： $$ L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1} $$ 且满足 $0 < x_i < 1$ 对于所有 $i = 1, 2, \cdots, n$。与选项对比，正确答案为： $$ \boxed{D} $$

解析

本题考查最大似然估计中似然函数的构造，关键是理解似然函数为样本联合密度函数的乘积。

步骤1：回顾似然函数的定义

对于总体密度函数为$f(x;\theta)$的样本$X_1,X_2,\dots,X_n$，似然函数$L(\theta)$定义为样本联合密度函数的乘积：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$

步骤2：代入总体密度函数

本题中总体密度函数为：
$f(x;\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1} & (0 因样本$X_1,\dots,X_n$来自该总体，且$0

步骤3：计算乘积形式的似然函数

将$f(x_i;\theta)$代入似然函数：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1}$
根据乘积的指数运算法则，可分解为：
$L(\theta) = \left(\prod_{i=1}^n \theta\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^n x_i^{\theta-1}\right)$
其中：

  • $\prod_{i=1}^n \theta = \theta^n$（$n$个$\theta$相乘）；
  • $\prod_{i=1}^n x_i^{\theta-1} = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}$（指数可提取到乘积外）。

步骤4：匹配选项

最终似然函数为：
$L(\theta) = \theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1} \quad (0 与选项对比，选项D完全一致。