题目

23.'设D1是由抛物线 =2(x)^2 和直线 x=a x=2 及 y=0 所围成的平面-|||-区域;D2是由抛物线 =2(x)^2 和直线 y=0 x=a 所围成的平面区域其中 lt alt -|||-2.(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1;D2绕y轴旋转而成的旋转体体积-|||-V2;(2)问当a为何值时, _(1)+(V)_(2) 取得最大值?并求此最大值.

题目解答

答案

解析

本题主要考查利用定积分求旋转体的体积以及利用导数求函数的最值。解题思路如下：

  1. 对于$D_1$绕$x$轴旋转而成的旋转体体积$V_1$，使用定积分求旋转体体积公式$V = \pi\int_{b}^{c} [f(x)]^2dx$，其中$f(x)$是曲线方程，$[b,c]$是积分区间。
  2. 对于$D_2$绕$y$轴旋转而成的旋转体体积$V_2$，使用柱壳法，公式为$V = 2\pi\int_{a}^{b} x\cdot f(x)dx$，其中$x$是柱壳的半径，$f(x)$是柱壳的高，$[a,b]$是积分区间。
  3. 求出$V_1 + V_2$的表达式后，对其求导，令导数为$0$，求出可能的极值点，再判断该点是否为最大值点。

（1）求$V_1$和$V_2$

  • 求$V_1$：
    $D_1$绕$x$轴旋转而成的旋转体体积$V_1$，根据旋转体体积公式$V = \pi\int_{b}^{c} [f(x)]^2dx$，这里$f(x)=2x^2$，积分区间是$[a,2]$，则：
    $\begin{align*}V_1&=\pi\int_{a}^{2} (2x^2)^2dx\\&=\pi\int_{a}^{2} 4x^4dx\\&=4\pi\int_{a}^{2} x^4dx\\&=4\pi\cdot\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{a}^{2}\\&=4\pi\cdot\left(\frac{1}{5}\times2^5 - \frac{1}{5}a^5\right)\\&=\frac{4\pi}{5}(32 - a^5)\end{align*}$
  • 求$V_2$：
    $D_2$绕$y$轴旋转而成的旋转体体积$V_2$，使用柱壳法，公式为$V = 2\pi\int_{a}^{b} x\cdot f(x)dx$，这里$f(x)=2x^2$，积分区间是$[0,a]$，则：
    $\begin{align*}V_2&=2\pi\int_{0}^{a} x\cdot 2x^2dx\\&=4\pi\int_{0}^{a} x^3dx\\&=4\pi\cdot\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{a}\\&=4\pi\cdot\left(\frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{4}\times0^4\right)\\&=\pi a^4\end{align*}$

（2）求$V_1 + V_2$的最大值

  • 求$V_1 + V_2$的表达式：
    将$V_1=\frac{4\pi}{5}(32 - a^5)$和$V_2=\pi a^4$代入$V_1 + V_2$，可得：
    $V(a)=V_1 + V_2=\frac{4\pi}{5}(32 - a^5) + \pi a^4=\frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5}a^5 + \pi a^4$，$0\lt a\lt 2$。
  • 对$V(a)$求导：
    $V^\prime(a)=\left(\frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5}a^5 + \pi a^4\right)^\prime=-\frac{4\pi}{5}\times5a^4 + \pi\times4a^3=-4\pi a^4 + 4\pi a^3$。
  • 求极值点：
    令$V^\prime(a)=0$，即$-4\pi a^4 + 4\pi a^3 = 0$，提取公因式$4\pi a^3$得$4\pi a^3(1 - a)=0$。
    因为$0\lt a\lt 2$，所以$a^3\neq0$，则$1 - a = 0$，解得$a = 1$。
  • 判断最大值：
    当$0\lt a\lt 1$时，$V^\prime(a)=4\pi a^3(1 - a)\gt 0$，$V(a)$单调递增；当$1\lt a\lt 2$时，$V^\prime(a)=4\pi a^3(1 - a)\lt 0$，$V(a)$单调递减。
    所以当$a = 1$时，$V(a)$取得最大值，最大值为：
    $\begin{align*}V(1)&=\frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5}\times1^5 + \pi\times1^4\\&=\frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} + \pi\\&=\frac{128\pi - 4\pi + 5\pi}{5}\\&=\frac{129\pi}{5}\end{align*}$