题目
某车间生产的滚珠，其直径 X sim N(mu, sigma^2) ，由过去的经验知道 sigma^2 = 0.09 ,今随机抽取9枚，测得其长度（单位mm）如下14 15 16 15 18 19 21 18 17试求 mu 的置信概率为0.95的置信区间. (临界值: z_(0.05) = 1.645, z_(0.025) = 1.96 )
某车间生产的滚珠，其直径 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，由过去的经验知道 $\sigma^2 = 0.09$ ,今随机抽取9枚，测得其长度（单位mm）如下 14 15 16 15 18 19 21 18 17 试求 $\mu$ 的置信概率为0.95的置信区间. (临界值: $z_{0.05} = 1.645, z_{0.025} = 1.96$ )
题目解答
答案
我们来一步一步地解决这个题目。
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## **题目分析**
已知：
- 滚珠直径 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即服从正态分布；
- 总体方差 $ \sigma^2 = 0.09 $，所以标准差 $ \sigma = \sqrt{0.09} = 0.3 $；
- 抽取了一个样本：14, 15, 16, 15, 18, 19, 21, 18, 17；
- 样本容量 $ n = 9 $；
- 置信水平为 0.95；
- 临界值：$ z_{0.025} = 1.96 $（因为是双侧置信区间，所以用 $ \alpha/2 = 0.025 $）。
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## **第一步：计算样本均值**
样本数据：
$$
14,\ 15,\ 16,\ 15,\ 18,\ 19,\ 21,\ 18,\ 17
$$
计算样本均值 $ \bar{x} $：
$$
\bar{x} = \frac{14 + 15 + 16 + 15 + 18 + 19 + 21 + 18 + 17}{9}
= \frac{153}{9} = 17
$$
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## **第二步：确定置信区间公式**
由于总体方差已知，且总体服从正态分布，使用 **Z分布** 构造置信区间。
置信区间公式为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
代入已知数据：
- $ \bar{x} = 17 $
- $ \sigma = 0.3 $
- $ n = 9 $
- $ z_{0.025} = 1.96 $
计算标准误：
$$
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.3}{\sqrt{9}} = \frac{0.3}{3} = 0.1
$$
计算置信区间：
$$
17 \pm 1.96 \times 0.1 = 17 \pm 0.196
$$
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## **第三步：写出置信区间**
$$
[17 - 0.196,\ 17 + 0.196] = [16.804,\ 17.196]
$$
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## **最终答案**
$$
\boxed{[16.804,\ 17.196]}
$$
这是总体均值 $ \mu $ 的 95% 置信区间。