题目
9. (10.0分) 设X,Y为随机变量，已知协方差Cov(X,Y)=3，则Cov(2X,3Y)=____
9. (10.0分) 设X,Y为随机变量，已知协方差$Cov(X,Y)=3$，则$Cov(2X,3Y)$=____
题目解答
答案
为了求解 $ \text{Cov}(2X, 3Y) $，我们需要使用协方差的性质。协方差的一个重要性质是对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，以及随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有：
\[
\text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y)
\]
在这个问题中，我们已知 $ \text{Cov}(X, Y) = 3 $。我们需要求解 $ \text{Cov}(2X, 3Y) $。根据协方差的性质，我们可以将 $ a = 2 $ 和 $ b = 3 $ 代入上述公式：
\[
\text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X, Y)
\]
接下来，我们代入已知的 $ \text{Cov}(X, Y) = 3 $：
\[
\text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18
\]
因此， $ \text{Cov}(2X, 3Y) $ 的值是 $\boxed{18}$。
解析
步骤 1：应用协方差的性质
根据协方差的性质，对于任意常数 $a$ 和 $b$，以及随机变量 $X$ 和 $Y$，有：\[ \text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y) \]
步骤 2：代入已知值
在本题中，$a = 2$，$b = 3$，且已知 $\text{Cov}(X, Y) = 3$。代入上述公式，得到：\[ \text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]
步骤 3：计算结果
将 $\text{Cov}(X, Y) = 3$ 代入，得到：\[ \text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 \]
根据协方差的性质，对于任意常数 $a$ 和 $b$，以及随机变量 $X$ 和 $Y$，有：\[ \text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y) \]
步骤 2：代入已知值
在本题中，$a = 2$，$b = 3$，且已知 $\text{Cov}(X, Y) = 3$。代入上述公式，得到：\[ \text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]
步骤 3：计算结果
将 $\text{Cov}(X, Y) = 3$ 代入，得到：\[ \text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 \]