设 A^2 - A - 2E = 0，则 (A - E)^-1 = ____

由题意，已知 $ A^2 - A - 2E = 0 $，可化简为 $ A^2 - A = 2E $。
将等式两边同时加 $ E $，得：
$A^2 - A + E = 3E$
提取公因式 $ (A - E) $：
$(A - E)A + E = 3E \quad \Rightarrow \quad (A - E)A = 2E$
但发现此路径复杂，换一种方法。
将原式 $ A^2 - A = 2E $ 变形为：
$A(A - E) = 2E$
两边同时右乘 $ (A - E)^{-1} $（假设存在）：
$A = 2E(A - E)^{-1}$
这显然不直接帮助求解。
于是，尝试直接构造 $ (A - E)^{-1} $。
观察 $ A^2 - A = 2E $，可写成：
$A(A - E) = 2E$
两边同时右乘 $ \frac{1}{2}(A - E)^{-1} $：
$A \cdot \frac{1}{2}(A - E)^{-1} = E$
这表明 $ \frac{1}{2}(A - E)^{-1} $ 是 $ A $ 的逆矩阵，但不符合要求。
正确方法是：
$A^2 - A = 2E \quad \Rightarrow \quad A(A - E) = 2E$
两边同时左乘 $ \frac{1}{2}(A - E)^{-1} $：
$\frac{1}{2}(A - E)^{-1}A(A - E) = E$
这表明 $ \frac{1}{2}A $ 是 $ (A - E)^{-1} $ 的右逆。
但更简洁的方法是：
$A^2 - A = 2E \quad \Rightarrow \quad (A - E)A = A^2 - A = 2E$
因此，
$(A - E) \cdot \frac{1}{2}A = E$
这表明 $ (A - E)^{-1} = \frac{1}{2}A $。

答案：
$(A - E)^{-1} = \frac{1}{2}A$