题目

第四章抽样推断计算题1.某电扇厂对其生产的2400台电扇进行使用寿命调查，随机抽取45台，平均使用寿命5万小时，使用寿命的标准差为220小时，若以95.45%的概率进行推断，试求极限误差和使用寿命的置信区间。

第四章抽样推断计算题 1.某电扇厂对其生产的2400台电扇进行使用寿命调查，随机抽取45台，平均使用寿命5万小时，使用寿命的标准差为220小时，若以95.45%的概率进行推断，试求极限误差和使用寿命的置信区间。

题目解答

答案

为了求解这个问题，我们需要使用抽样推断的理论，具体步骤如下： 1. **确定已知条件：** - 总体数量 $ N = 2400 $ - 样本数量 $ n = 45 $ - 样本平均使用寿命 $ \bar{x} = 5 $ 万小时 - 样本标准差 $ s = 220 $ 小时 - 置信水平 $ 1 - \alpha = 95.45\% $ 2. **找到对应的置信水平下的标准正态分布的双侧临界值 $ z_{\alpha/2} $:** - 对于 $ 95.45\% $ 的置信水平， $ \alpha = 1 - 0.9545 = 0.0455 $ - $ \alpha/2 = 0.02275 $ - 从标准正态分布表中找到 $ z_{0.02275} \approx 2 $ 3. **计算极限误差 $ \Delta $:** - 由于总体数量 $ N $ 较大，可以使用正态分布近似 - 极限误差公式为 $ \Delta = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $ - 代入已知值， $ \Delta = 2 \cdot \frac{220}{\sqrt{45}} \approx 2 \cdot \frac{220}{6.708} \approx 65.59 $ 小时 4. **计算置信区间:** - 置信区间为 $ \bar{x} \pm \Delta $ - 代入已知值，置信区间为 $ 50000 \pm 65.59 $ - 即 $ (49934.41, 50065.59) $ 小时 因此，极限误差为 $ 65.59 $ 小时，使用寿命的置信区间为 $ \boxed{(49934.41, 50065.59)} $ 小时。

解析

考查要点：本题主要考查抽样推断中的极限误差计算和置信区间估计，涉及正态分布下样本均值的区间估计方法。

解题核心思路：

  1. 确定置信水平对应的临界值：根据题目给出的置信水平95.45%，对应标准正态分布的双侧临界值$z_{\alpha/2}$。
  2. 计算极限误差：利用公式$\Delta = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$s$为样本标准差，$n$为样本容量。
  3. 构建置信区间：以样本均值为中心，以极限误差为半径，形成区间$[\bar{x} - \Delta, \bar{x} + \Delta]$。

破题关键点：

  • 识别临界值：95.45%的置信水平对应$z \approx 2$（经验法则）。
  • 忽略有限总体修正：样本量占总体比例不足5%，无需修正。

1. 确定临界值$z_{\alpha/2}$

  • 置信水平$1 - \alpha = 95.45\%$，则$\alpha = 0.0455$，$\alpha/2 = 0.02275$。
  • 查标准正态分布表或经验法则，$z_{0.02275} \approx 2$（对应约95.44%的覆盖概率）。

2. 计算极限误差$\Delta$

  • 公式：$\Delta = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$。
  • 代入数据：$\Delta = 2 \cdot \frac{220}{\sqrt{45}} \approx 2 \cdot 32.795 \approx 65.59$小时。

3. 构建置信区间

  • 样本均值$\bar{x} = 5$万小时（即50000小时）。
  • 置信区间为：$50000 \pm 65.59$，即$(49934.41, 50065.59)$小时。