题目

设随机向量_(1)-|||-X= λ2-|||-X3,对总体抽取容量5的样本,给定样本资料矩阵_(1)-|||-X= λ2-|||-X3，求样本均值向量_(1)-|||-X= λ2-|||-X3,方差协方差矩阵_(1)-|||-X= λ2-|||-X3的估计.

设随机向量 $X= \begin{pmatrix}X_1\\ X_2 \\X_3\end{pmatrix}$ ,对总体抽取容量5的样本,给定样本资料矩阵 $X= \begin{pmatrix}9 &12& 3\\ 2& 8& 4 \\6 &6 &0\\ 5 &4 &2\\ 8& 10& 1\end{pmatrix}$ ，求样本均值向量 $\overline{X}$ ,方差协方差矩阵 $\varSigma$ 的估计.

题目解答

答案

求样本均值向量 $\overline{X}$ ：

样本均值向量 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ ，其中 $n=5$ 是样本容量， $X_i$ 是样本中的向量.

分别计算 $X_1、X_2、X_3$ 的样本均值：

$\overline{X}_1=\frac{9+2+6+5+8}{5}=\frac{30}{5}=6$ .

$\overline{X}_2=\frac{12+8+6+4+10}{5}=\frac{40}{5}=8$ .

$\overline{X}_3=\frac{3+4+0+2+1}{5}=\frac{10}{5}=2$ .

所以样本均值向量 $\overline{X}=\begin{pmatrix}6\\8\\2\end{pmatrix}$ .

求方差协方差矩阵 $\varSigma$ 的估计：

首先计算样本离差矩阵 $A$ ， $A=(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})^T$ ，对每个样本向量 $X_i$ 进行计算.

对于 $X_{1}=\begin{pmatrix}9\\12\\3\end{pmatrix}，(X_{1}-\overline{X})(X_{1}-\overline{X})^{T}$ $=\begin{pmatrix}9 - 6\\12 - 8\\3 - 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 - 6 & 12 - 8 & 3 - 2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 12 & 3\\12 & 16 & 4\\3 & 4 & 1\end{pmatrix}$ .

同理，对于其他样本向量可得：

$X_{2}=\begin{pmatrix}2\\8\\4\end{pmatrix}$ ， $(X_{2}-\overline{X})(X_{2}-\overline{X})^{T}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 & 0 & 2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}16 & 0 & -8\\0 & 0 & 0\\-8 & 0 & 4\end{pmatrix}$ .

$X_{3}=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}$ ， $(X_{3}-\overline{X})(X_{3}-\overline{X})^{T}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -2 & -2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 4 & 4\\0 & 4 & 4\end{pmatrix}$ .

$X_{4}=\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}$ ， $(X_{4}-\overline{X})(X_{4}-\overline{X})^{T}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -4 & 0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}1 & 4 & 0\\4 & 16 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

$X_{5}=\begin{pmatrix}8\\10\\1\end{pmatrix}$ ， $(X_{5}-\overline{X})(X_{5}-\overline{X})^{T}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 2 & -1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}4 & 4 & -2\\4 & 4 & -2\\-2 & -2 & 1\end{pmatrix}$ .

然后计算样本方差协方差矩阵 $\hat{\varSigma}=\frac{1}{n - 1}A$ ，其中 $n=5$ .

先将A的各个元素相加： $A=\begin{pmatrix}9 + 16 + 0 + 1 + 4 & 12 + 0 + 0 + 4 + 4 & 3 - 8 + 0 + 0 - 2\\12 + 0 + 0 + 4 + 4 & 16 + 0 + 4 + 16 + 4 & 4 + 0 + 4 + 0 - 2\\3 - 8 + 0 + 0 - 2 & 4 + 0 + 4 + 0 - 2 & 1 + 4 + 4 + 0 + 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}40 & 20 & -7\\20 & 40 & 6\\-7 & 6 & 10\end{pmatrix}$ .

最后计算 $\hat{\varSigma}=\frac{1}{5 - 1}A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}40 & 20 & -7\\20 & 40 & 6\\-7 & 6 & 10\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}10 & 5 & -\frac{7}{4}\\5 & 10 & \frac{3}{2}\\-\frac{7}{4} & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{pmatrix}$ .

故答案为：样本均值向量为 $\begin{pmatrix}6\\8\\2\end{pmatrix}$ ，方差协方差矩阵的估计为 $\begin{pmatrix}10 & 5 & -\frac{7}{4}\\5 & 10 & \frac{3}{2}\\-\frac{7}{4} & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{pmatrix}$ .