设随机变量 X,Y 不相关,且E ( X ) = E ( Y ) = 1 , D ( X ) = 3 , E [ X ( X + Y - 2 ) ] =A.0B.3C.2D.1

考查要点：本题主要考查不相关随机变量的性质以及期望的计算。关键在于利用不相关的条件（协方差为零）简化计算。

解题核心思路：

1. 展开表达式：将题目中的期望表达式展开为多个项的和。
2. 分解计算：利用期望的线性性质，将问题分解为计算各个项的期望。
3. 方差与协方差的应用：通过方差公式计算$E(X^2)$，通过协方差为零得出$E(XY)$。

破题关键点：

• 不相关 $\Rightarrow$ 协方差为零，即$E(XY) = E(X)E(Y)$。
• 方差公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，可求出$E(X^2)$。

步骤1：展开表达式
原式为：
$E\left[ X(X + Y - 2) \right] = E\left[ X^2 + XY - 2X \right]$

步骤2：分解为多个期望
利用期望的线性性质：
$E\left[ X^2 + XY - 2X \right] = E(X^2) + E(XY) - 2E(X)$

步骤3：计算各部分期望

1. 计算$E(X^2)$
   由方差公式：
   $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \implies 3 = E(X^2) - 1^2 \implies E(X^2) = 4$

2. 计算$E(XY)$
   因为$X$与$Y$不相关，协方差为零：
   $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \implies E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \times 1 = 1$

3. 代入已知值
   $E(X) = 1$，直接代入。

步骤4：综合结果
将各部分代入分解后的表达式：
$E(X^2) + E(XY) - 2E(X) = 4 + 1 - 2 \times 1 = 3$