题目
考虑总体均值的95.44％置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为10；要使得到的置信区间的半径不超过1，需要的最小样本容量为( ) 。A. 100B. 400
考虑总体均值的95.44％置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为10；要使得到的置信区间的半径不超过1，需要的最小样本容量为( ) 。
A. 100
B. 400
题目解答
答案
B. 400
解析
步骤 1：确定置信区间的半径公式
置信区间的半径公式为：\[ R = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\( R \) 是置信区间的半径，\( Z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的分位数，\( \sigma \) 是总体标准差，\( n \) 是样本容量。
步骤 2：确定置信水平和标准正态分布的分位数
置信水平为95.44%，对应的\( \alpha = 1 - 0.9544 = 0.0456 \)，因此\( \alpha/2 = 0.0228 \)。查标准正态分布表，得到\( Z_{0.0228} \approx 2 \)。
步骤 3：代入已知条件求解样本容量
已知\( R = 1 \)，\( \sigma = 10 \)，\( Z_{\alpha/2} = 2 \)，代入公式求解\( n \)：
\[ 1 = 2 \times \frac{10}{\sqrt{n}} \]
\[ \sqrt{n} = 2 \times 10 \]
\[ n = 400 \]
置信区间的半径公式为：\[ R = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\( R \) 是置信区间的半径，\( Z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的分位数，\( \sigma \) 是总体标准差，\( n \) 是样本容量。
步骤 2：确定置信水平和标准正态分布的分位数
置信水平为95.44%，对应的\( \alpha = 1 - 0.9544 = 0.0456 \)，因此\( \alpha/2 = 0.0228 \)。查标准正态分布表，得到\( Z_{0.0228} \approx 2 \)。
步骤 3：代入已知条件求解样本容量
已知\( R = 1 \)，\( \sigma = 10 \)，\( Z_{\alpha/2} = 2 \)，代入公式求解\( n \)：
\[ 1 = 2 \times \frac{10}{\sqrt{n}} \]
\[ \sqrt{n} = 2 \times 10 \]
\[ n = 400 \]