3.X~N(1,1)，其密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则有【 】。A (A) p(X≤0)=p(X≥0)=0.5B (B) f(x)=f(-x),x∈(-∞,+∞)C (D) F(x)=1-F(-x),x∈(-∞,+∞)D (C) p(X≤1)=p(X≥1)=0.5

根据题目给出的信息，随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,1)$。

首先，我们需要明确正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的参数含义：

• $\mu$ 是均值（期望），决定了分布曲线的对称轴位置。
• $\sigma^2$ 是方差，决定了曲线的形状。

在本题中，$X \sim N(1,1)$，这意味着：

• 均值 $\mu = 1$
• 方差 $\sigma^2 = 1$（即标准差 $\sigma = 1$）

正态分布的概率密度函数 $f(x)$ 和分布函数 $F(x)$ 具有以下重要性质：

1. 概率密度函数 $f(x)$ 的图像是一条关于直线 $x = \mu$ 对称的钟形曲线。
2. 分布函数 $F(x) = P(X \leq x)$ 表示随机变量落在区间 $(-\infty, x]$ 上的概率。
3. 由于对称性，$P(X \leq \mu) = P(X \geq \mu) = 0.5$。

接下来，我们逐一分析各个选项：

• 选项 (A) $P(X \leq 0) = P(X \geq 0) = 0.5$
  正态分布 $N(1,1)$ 的对称轴是 $x = 1$。只有当 $x$ 等于均值 $\mu$ 时，其左右两侧的概率才各为 $0.5$。这里的 $0$ 并不是均值 $1$，因此 $P(X \leq 0)$ 不等于 $0.5$（实际上，因为 $0 < 1$，$P(X \leq 0)$ 小于 $0.5$）。所以选项 (A) 错误。

• 选项 (B) $f(x) = f(-x), x \in (-\infty, \infty)$
  这个等式表示密度函数 $f(x)$ 是一个偶函数，即其图像关于 $y$ 轴（直线 $x=0$）对称。然而，已知 $X \sim N(1,1)$，其密度函数关于直线 $x = 1$ 对称，而不是关于 $x = 0$ 对称。所以选项 (B) 错误。

• 选项 (D) $F(x) = 1 - F(-x), x \in (-\infty, +\infty)$
  这个等式通常适用于均值为 $0$ 的正态分布（标准正态分布 $N(0,1)$）。对于一般的正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，对称性体现为 $F(\mu + x) = 1 - F(\mu - x)$。在本题中 $\mu = 1$，正确的对称关系应该是 $F(1 + x) = 1 - F(1 - x)$，而不是 $F(x) = 1 - F(-x)$。所以选项 (D) 错误。

• 选项 (C) $P(X \leq 1) = P(X \geq 1) = 0.5$
  由于 $X \sim N(1,1)$，其均值 $\mu = 1$。正态分布关于均值对称，因此随机变量小于等于均值的概率和大于等于均值的概率均为 $0.5$。即 $P(X \leq 1) = P(X \geq 1) = 0.5$。这与选项 (C) 完全一致。

综上所述，正确的选项是 (C)。