题目

某网红到一海鲜市场测试市场内店家的诚信，为了测试某天平的公平性，在天平上重复称重一个重量是50(单位：g)的物品，假设各次称重的结果相互独立且同分布数学期望为50，方差为0.2^2，以0.2^2表示n次称重结果的样本均值，为使得样本均值与实际重量的偏差的绝对值不超过0.1的概率不低于0.95，请利用中心极限定理估算，至少需要称重多少次？(参考数据0.2^2)

某网红到一海鲜市场测试市场内店家的诚信，为了测试某天平的公平性，在天平上重复称重一个重量是50(单位：g)的物品，假设各次称重的结果相互独立且同分布数学期望为50，方差为 $0.2^2$ ，以 $\overline{X}$ 表示n次称重结果的样本均值，为使得样本均值与实际重量的偏差的绝对值不超过0.1的概率不低于0.95，请利用中心极限定理估算，至少需要称重多少次？

(参考数据 $z_{0.025}=1.96,z_{0.05}=1.645$ )

题目解答

答案

设X表示每次称重的结果，则X的数学期望为50，方差为 $0.2^2$ ，则 $EX=\mu=50,DX=\sigma^2=0.2^2$ ，则 $E\left(\overline{X}\right)=E\left(X\right)=50,D\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n}D\left(X\right)=\frac{0.04}{n}$ ，则 $P\left(\left|\overline{X}-\mu\right|\le0.1\right)=P\left(\left|\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{0.2}{n}}\right|\le\frac{n}{2}\right)$ $=2Φ\left(\frac{n}{2}\right)-1\ge0.95$ ，则 $Φ\left(\frac{n}{2}\right)\ge0.975=Φ\left(1.96\right)$ ，则 $n\ge4$ ，则至少需要称重4次.