已知一同学采用滴定法测定某铜矿中铜的含量，4次测定结果分别为：40.53%，40.48%，40.57%，40.42%。（1）计算测量结果的平均值、平均偏差、标准偏差、相对标准偏差、极差。（2）置信水平95%时总体平均值的置信区间。（已知：t_(0.05, 4) = 2.78、t_(0.05, 3) = 3.18）（3）是否有可疑值？并证明。（4）假如已知铜矿中铜含量的标准值（以理论值代替）为40.50%，测定结果没有可疑值，请用t值检验法说明该同学采用滴定法是否引起系统误差（置信度95%，t_(0.05, 4) = 2.78，t_(0.05, 3) = 3.18）。

考查要点：本题综合考查实验数据的统计处理，包括基本统计量计算、置信区间估计、异常值检验（Q检验）及系统误差检验（t检验）。
解题思路：

1. 基本统计量：需掌握平均值、平均偏差、标准偏差、相对标准偏差、极差的定义与计算公式。
2. 置信区间：利用t分布，结合样本均值、标准差及自由度计算置信区间。
3. 异常值检验：通过Q检验判断数据中是否存在可疑值，需注意临界值的选择。
4. 系统误差检验：用t检验比较实验平均值与理论值的差异是否显著，需正确计算t值并与临界值比较。

第（1）题

计算平均值

$\bar{x} = \frac{40.53 + 40.48 + 40.57 + 40.42}{4} = 40.50\%$

计算平均偏差

各数据与平均值的绝对偏差：
$|40.53 - 40.50| = 0.03,\ |40.48 - 40.50| = 0.02,\ |40.57 - 40.50| = 0.07,\ |40.42 - 40.50| = 0.08$
平均偏差：
$d = \frac{0.03 + 0.02 + 0.07 + 0.08}{4} = 0.05\%$

计算标准偏差

各数据与平均值的差的平方：
$(0.03)^2 = 0.0009,\ (0.02)^2 = 0.0004,\ (0.07)^2 = 0.0049,\ (0.08)^2 = 0.0064$
样本方差：
$s^2 = \frac{0.0009 + 0.0004 + 0.0049 + 0.0064}{3} = 0.0042$
标准偏差：
$s = \sqrt{0.0042} \approx 0.065\%$

计算相对标准偏差

$RSD = \frac{0.065\%}{40.50\%} \times 100\% \approx 0.16\%$

计算极差

$R = 40.57\% - 40.42\% = 0.15\%$

第（2）题

确定自由度与标准误差

自由度 $df = n - 1 = 3$，标准误差：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.065\%}{2} = 0.0325\%$

计算置信区间

$\mu = 40.50\% \pm t_{0.05,3} \times SE = 40.50\% \pm 3.18 \times 0.0325\% \approx 40.50\% \pm 0.10\%$

第（3）题

Q检验

数据排序：$40.42\%,\ 40.48\%,\ 40.53\%,\ 40.57\%$
极差 $R = 0.15\%$，计算Q值：
$Q = \frac{40.48\% - 40.42\%}{0.15\%} = 0.40$
因 $Q = 0.40 < Q_{0.05,4} = 0.76$，故无可疑值。

第（4）题

t检验

$t = \frac{\bar{x} - \mu}{SE} = \frac{40.50\% - 40.50\%}{0.0325\%} = 0$
因 $t = 0 < t_{0.05,3} = 3.18$，故无系统误差。