题目
3、计算lim_(zto1)(zbar(z)+2z-bar(z)-2)/(z^2)-1.
3、计算$\lim_{z\to1}\frac{z\bar{z}+2z-\bar{z}-2}{z^{2}-1}$.
题目解答
答案
将分子因式分解：
$$
z\bar{z} + 2z - \bar{z} - 2 = (z - 1)(\bar{z} + 2).
$$
原极限化简为：
$$
\lim_{z \to 1} \frac{(z - 1)(\bar{z} + 2)}{(z - 1)(z + 1)} = \lim_{z \to 1} \frac{\bar{z} + 2}{z + 1}.
$$
令 $z = x + yi$，则 $\bar{z} = x - yi$，当 $z \to 1$ 时，$x \to 1$，$y \to 0$，代入得：
$$
\lim_{x \to 1, y \to 0} \frac{(x + 2) - yi}{(x + 1) + yi} = \frac{3}{2}.
$$
**答案：** $\boxed{\frac{3}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查复变函数的极限计算，涉及因式分解、共轭复数的性质以及极限的路径独立性判断。
解题核心思路：
- 因式分解：将分子和分母分别因式分解，约去公因式$(z-1)$，简化表达式。
- 代入求极限：化简后的表达式直接代入$z=1$，但需注意复变函数的极限需验证路径独立性。
- 变量替换：令$z = x + yi$，转化为实变量极限，进一步验证结果。
破题关键点：
- 分子分解：通过分组提取公因式$(z-1)$，简化分式。
- 路径独立性：通过代入不同路径验证极限值一致，确保结果正确性。
步骤1：因式分解分子
分子为$z\bar{z} + 2z - \bar{z} - 2$，分组后提取公因式：
$\begin{aligned}z\bar{z} + 2z - \bar{z} - 2 &= \bar{z}(z - 1) + 2(z - 1) \\&= (z - 1)(\bar{z} + 2).\end{aligned}$
步骤2：约分简化表达式
分母$z^2 - 1$分解为$(z - 1)(z + 1)$，原式化简为：
$\frac{(z - 1)(\bar{z} + 2)}{(z - 1)(z + 1)} = \frac{\bar{z} + 2}{z + 1} \quad (z \neq 1).$
步骤3：代入极限值
当$z \to 1$时，令$z = x + yi$，则$\bar{z} = x - yi$，代入得：
$\frac{(x + 2) - yi}{(x + 1) + yi}.$
步骤4：验证路径独立性
无论$z$沿实轴（$y=0$）还是其他路径（如$y = k(x-1)$）趋近于1，极限均为$\frac{3}{2}$，说明路径独立，极限存在。