题目
设总体 X sim N(0,1)，(X_1,X_2,... X_6)为来自总体 X 的简单随机样本，则 k=(）时，(k cdot sum_(i=1)^4 X_i)/(sqrt(X_5^2 + X_6^2)) sim tA. (sqrt(2))/(2);B. 2;C. sqrt(2);D. (1)/(2).
设总体 $X \sim N(0,1)$，$(X_1,X_2,\cdots X_6)$为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $k=$(）时，$\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} \sim t$
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;
B. $2$;
C. $\sqrt{2}$;
D. $\frac{1}{2}$.
题目解答
答案
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;
解析
步骤 1：确定 $\sum_{i=1}^4 X_i$ 的分布
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$，因为独立正态随机变量的和仍为正态随机变量，且方差为各随机变量方差之和。
步骤 2：确定 $\sqrt{X_5^2 + X_6^2}$ 的分布
$X_5^2$ 和 $X_6^2$ 分别服从自由度为1的卡方分布，即 $X_5^2 \sim \chi^2(1)$ 和 $X_6^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$，因为卡方分布的可加性。
步骤 3：确定 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}}$ 的分布
根据 $t$ 分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{U/n}} \sim t(n)$。因此，要使 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} \sim t(2)$，则需要 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} = \frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{2}} \sim t(2)$。由于 $\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$，则 $\frac{\sum_{i=1}^4 X_i}{2} \sim N(0,1)$。因此，$k$ 必须等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，以使 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}}$ 符合 $t(2)$ 分布的定义。
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$，因为独立正态随机变量的和仍为正态随机变量，且方差为各随机变量方差之和。
步骤 2：确定 $\sqrt{X_5^2 + X_6^2}$ 的分布
$X_5^2$ 和 $X_6^2$ 分别服从自由度为1的卡方分布，即 $X_5^2 \sim \chi^2(1)$ 和 $X_6^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$，因为卡方分布的可加性。
步骤 3：确定 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}}$ 的分布
根据 $t$ 分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{U/n}} \sim t(n)$。因此，要使 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} \sim t(2)$，则需要 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}} = \frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{2}} \sim t(2)$。由于 $\sum_{i=1}^4 X_i \sim N(0,4)$，则 $\frac{\sum_{i=1}^4 X_i}{2} \sim N(0,1)$。因此，$k$ 必须等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，以使 $\frac{k \cdot \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2}}$ 符合 $t(2)$ 分布的定义。