题目
从某面粉厂生产的袋装面粉中抽取4袋,测得重量(单位:kg)如下:24.6, 25.4, 24.8, 25.2,假设袋面粉的重量X~N(, 0.32),试求的置信水平为0.95的置信区间。
从某面粉厂生产的袋装面粉中抽取4袋,测得重量(单位:kg)如下:24.6, 25.4, 24.8, 25.2,
假设袋面粉的重量X~N(, 0.32),试求的置信水平为0.95的置信区间。
题目解答
答案
解:=0.05, /2=0.025, u0.025=1.96, 
=25, n=4, =0.3 ,
因为u=
~N(0,1), =
u/2
= 251.96
= 250.294
的置信区间为(24.706, 25.294)。
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值。对于给定的样本，我们有：
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{4} (24.6 + 25.4 + 24.8 + 25.2) = 25
$$
步骤 2：确定置信水平和标准差
置信水平为 0.95，因此 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。标准差 $\sigma = 0.3$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，对于 $\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。因此，置信区间为：
$$
25 \pm 1.96 \frac{0.3}{\sqrt{4}} = 25 \pm 1.96 \times 0.15 = 25 \pm 0.294
$$
样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值。对于给定的样本，我们有：
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{4} (24.6 + 25.4 + 24.8 + 25.2) = 25
$$
步骤 2：确定置信水平和标准差
置信水平为 0.95，因此 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。标准差 $\sigma = 0.3$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，对于 $\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。因此，置信区间为：
$$
25 \pm 1.96 \frac{0.3}{\sqrt{4}} = 25 \pm 1.96 \times 0.15 = 25 \pm 0.294
$$