题目
假设一台机器在一天内发生故障的概率为0.3，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障可获利润0万元；发生三次或三次以上故障，亏损2万元，试求一周内期望利润是多少.
假设一台机器在一天内发生故障的概率为0.3，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障可获利润0万元；发生三次或三次以上故障，亏损2万元，试求一周内期望利润是多少.
题目解答
答案
设X表示5个工作日机器发生故障的次数，则X服从参数为
的二项分布，则X的分布律为
，则
，
，
，
，则Y的数学期望为
.
解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示5个工作日机器发生故障的次数，则X服从参数为n=5, p=0.3的二项分布，即$X \sim B(5, 0.3)$。设Y表示一周内获得的利润，则Y的取值依赖于X的取值。
步骤 2：计算X的分布律
根据二项分布的定义，X的分布律为$P(X=k)={C}_{5}^{k}{(0.3)}^{k}{(0.7)}^{5-k}$，其中k=0, 1, 2, 3, 4, 5。
步骤 3：计算Y的分布律
根据题目条件，Y的取值与X的取值对应关系如下：
- 当X=0时，Y=10万元；
- 当X=1时，Y=5万元；
- 当X=2时，Y=0万元；
- 当X≥3时，Y=-2万元。
因此，Y的分布律为：
- $P(Y=10)=P(X=0)={0.7}^{5}=0.16807$，
- $P(Y=5)=P(X=1)={C}_{5}^{1}(0.3){(0.7)}^{4}=0.36015$，
- $P(Y=0)=P(X=2)={C}_{5}^{2}{(0.3)}^{2}{(0.7)}^{3}=0.3087$，
- $P(Y=-2)=P(X\geqslant 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0.16807-0.36015-0.3087=0.16308$。
步骤 4：计算Y的数学期望
根据Y的分布律，Y的数学期望为$E(Y)=10\times P(Y=10)+5\times P(Y=5)+0\times P(Y=0)-2\times P(Y=-2)$。
将步骤3中计算出的概率值代入，得到$E(Y)=10\times 0.16807+5\times 0.36015+0\times 0.3087-2\times 0.16308=3.15529$。
设X表示5个工作日机器发生故障的次数，则X服从参数为n=5, p=0.3的二项分布，即$X \sim B(5, 0.3)$。设Y表示一周内获得的利润，则Y的取值依赖于X的取值。
步骤 2：计算X的分布律
根据二项分布的定义，X的分布律为$P(X=k)={C}_{5}^{k}{(0.3)}^{k}{(0.7)}^{5-k}$，其中k=0, 1, 2, 3, 4, 5。
步骤 3：计算Y的分布律
根据题目条件，Y的取值与X的取值对应关系如下：
- 当X=0时，Y=10万元；
- 当X=1时，Y=5万元；
- 当X=2时，Y=0万元；
- 当X≥3时，Y=-2万元。
因此，Y的分布律为：
- $P(Y=10)=P(X=0)={0.7}^{5}=0.16807$，
- $P(Y=5)=P(X=1)={C}_{5}^{1}(0.3){(0.7)}^{4}=0.36015$，
- $P(Y=0)=P(X=2)={C}_{5}^{2}{(0.3)}^{2}{(0.7)}^{3}=0.3087$，
- $P(Y=-2)=P(X\geqslant 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0.16807-0.36015-0.3087=0.16308$。
步骤 4：计算Y的数学期望
根据Y的分布律，Y的数学期望为$E(Y)=10\times P(Y=10)+5\times P(Y=5)+0\times P(Y=0)-2\times P(Y=-2)$。
将步骤3中计算出的概率值代入，得到$E(Y)=10\times 0.16807+5\times 0.36015+0\times 0.3087-2\times 0.16308=3.15529$。