题目
19.某工厂生产的螺栓长度(cm)服从参数 mu =10.05 =0.06 的正态分布,如果规定-|||-长度在 .05pm 0.12 内为合格品,求任取一螺栓为不合格品的概率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布参数
螺栓长度服从正态分布，参数为 $\mu = 10.05$ 和 $\sigma = 0.06$。
步骤 2：计算合格品的概率
合格品的长度范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[10.05 - 0.12, 10.05 + 0.12] = [9.93, 10.17]$。
我们需要计算 $P(9.93 \leq X \leq 10.17)$，其中 $X$ 是螺栓长度的随机变量。
将 $9.93$ 和 $10.17$ 标准化为标准正态分布的 $Z$ 值：
$Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$
$Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$
因此，$P(9.93 \leq X \leq 10.17) = P(-2 \leq Z \leq 2)$。
根据标准正态分布表，$P(-2 \leq Z \leq 2) = 2 \times P(0 \leq Z \leq 2) = 2 \times 0.9773 - 1 = 0.9546$。
步骤 3：计算不合格品的概率
不合格品的概率为 $1$ 减去合格品的概率，即 $P(X < 9.93 \text{ 或 } X > 10.17) = 1 - 0.9546 = 0.0454$。
螺栓长度服从正态分布，参数为 $\mu = 10.05$ 和 $\sigma = 0.06$。
步骤 2：计算合格品的概率
合格品的长度范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[10.05 - 0.12, 10.05 + 0.12] = [9.93, 10.17]$。
我们需要计算 $P(9.93 \leq X \leq 10.17)$，其中 $X$ 是螺栓长度的随机变量。
将 $9.93$ 和 $10.17$ 标准化为标准正态分布的 $Z$ 值：
$Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$
$Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$
因此，$P(9.93 \leq X \leq 10.17) = P(-2 \leq Z \leq 2)$。
根据标准正态分布表，$P(-2 \leq Z \leq 2) = 2 \times P(0 \leq Z \leq 2) = 2 \times 0.9773 - 1 = 0.9546$。
步骤 3：计算不合格品的概率
不合格品的概率为 $1$ 减去合格品的概率，即 $P(X < 9.93 \text{ 或 } X > 10.17) = 1 - 0.9546 = 0.0454$。