设总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 未知, 设总体均值 mu 的置信度 1-alpha 的置信区间长度 l, 那么 l 与 alpha 的关系为()。A. alpha 增大, l 减小B. alpha 增大, l 增大C. alpha 增大, l 不变D. alpha 与 l 关系不确定

考查要点：本题主要考查置信区间长度与显著性水平$\alpha$的关系，涉及t分布的分位数性质。

解题核心思路：

1. 明确置信区间公式：当总体方差$\sigma^2$未知时，总体均值$\mu$的置信区间基于t分布构造，长度为$2 \cdot t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$。
2. 分析关键变量关系：置信区间长度$l$与t分布的分位数$t_{\alpha/2}(n-1)$直接相关。
3. 分位数性质：当$\alpha$增大时，$\alpha/2$增大，对应的$t_{\alpha/2}(n-1)$分位数减小，从而$l$减小。

破题关键点：

• 理解t分位数随$\alpha$的变化规律：分位数随尾部概率增大（即$\alpha/2$增大）而减小。

对于总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$未知，总体均值$\mu$的置信度$1-\alpha$的置信区间为：
$\left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$
其中，$\bar{X}$为样本均值，$S$为样本标准差，$n$为样本容量，$t_{\alpha/2}(n-1)$为自由度为$n-1$的t分布的上$\alpha/2$分位数。

置信区间长度$l$的计算：
$l = 2 \cdot t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$

关键分析：

• 分位数$t_{\alpha/2}(n-1)$的性质：当$\alpha$增大时，$\alpha/2$增大，对应的分位数$t_{\alpha/2}(n-1)$减小（例如，从$\alpha=0.05$到$\alpha=0.10$，分位数从更大的尾部概率对应更小的值）。
• 长度$l$的变化：由于$t_{\alpha/2}(n-1)$减小，$l$随之减小。

结论：$\alpha$增大，$l$减小，正确答案为A。