判断函数的奇偶性.(1) f(x)=(e^x+e^-x)/(2)sin x(2) f(x)=ln(x+sqrt(x^2+1))ln(1-x)/(1+x)

我们来逐个分析两个函数的奇偶性。
判断函数奇偶性的基本方法是：

• 若 $ f(-x) = f(x) $，则 $ f(x) $ 是偶函数；
• 若 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ f(x) $ 是奇函数；
• 若以上都不成立，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

（1）$ f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \sin x $

我们先分析这个函数的结构。

注意到：

• $ \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x $，是偶函数，因为 $ \cosh(-x) = \cosh x $。
• $ \sin x $ 是奇函数，因为 $ \sin(-x) = -\sin x $。

所以这个函数是：偶函数 × 奇函数。

我们知道：

• 偶函数 × 奇函数 = 奇函数。

我们来验证一下：

计算 $ f(-x) $：

$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} \cdot \sin(-x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \cdot (-\sin x) = -\left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \sin x \right) = -f(x)$

所以 $ f(-x) = -f(x) $，满足奇函数的定义。

✅ 结论： 函数（1）是奇函数。

（2）$ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \cdot \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) $

这个函数是两个对数函数的乘积，我们分别分析每个部分的奇偶性，并注意定义域。

第一步：确定定义域

我们分析函数在哪些 $ x $ 处有定义。

1. $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $：

• $ x + \sqrt{x^2 + 1} $：由于 $ \sqrt{x^2 + 1} > |x| $，所以当 $ x \geq 0 $ 时显然正；当 $ x < 0 $ 时，比如 $ x = -a, a > 0 $，则 $ -a + \sqrt{a^2 + 1} > 0 $，因为 $ \sqrt{a^2 + 1} > a $。
• 所以 $ x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 $ 对所有实数 $ x $ 成立。
• 所以这个对数在整个 $ \mathbb{R} $ 上有定义。

2. $ \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) $：

• 要求 $ \frac{1 - x}{1 + x} > 0 $

• 解这个不等式：

  分子分母同号：

  • 情况1：$ 1 - x > 0 $ 且 $ 1 + x > 0 $ → $ x < 1 $ 且 $ x > -1 $ → $ -1 < x < 1 $
  • 情况2：$ 1 - x < 0 $ 且 $ 1 + x < 0 $ → $ x > 1 $ 且 $ x < -1 $，不可能。

  所以定义域是：$ -1 < x < 1 $

因此，整个函数 $ f(x) $ 的定义域是 $ (-1, 1) $，关于原点对称，可以讨论奇偶性。

第二步：计算 $ f(-x) $

$f(-x) = \ln\left(-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}\right) \cdot \ln\left(\frac{1 - (-x)}{1 + (-x)}\right) = \ln\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \cdot \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$

我们分别分析两个部分。

第一部分：$ \ln\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $

我们看它和 $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) $ 的关系。

注意到一个恒等式：

$(x + \sqrt{x^2 + 1})(-x + \sqrt{x^2 + 1}) = (\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2 = x^2 + 1 - x^2 = 1$

所以：
$-x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

因此：
$\ln\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \ln\left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \right) = -\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$

✅ 所以第一部分是奇函数。

第二部分：$ \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) $

注意到：
$\frac{1 + x}{1 - x} = \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{-1} \Rightarrow \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = -\ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)$

所以第二部分满足：
$\ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = -\ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)$

即：第二部分在 $ x \to -x $ 时变为原式的相反数，所以它也是奇函数。

现在我们有：

• 第一个因子：$ g(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $，是奇函数
• 第二个因子：$ h(x) = \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) $，我们验证一下它是不是奇函数：

计算 $ h(-x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = -\ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) = -h(x) $，所以 $ h(x) $ 是奇函数

所以 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，是 奇函数 × 奇函数

而：

• 奇 × 奇 = 偶函数

因为：
$f(-x) = g(-x) h(-x) = (-g(x)) \cdot (-h(x)) = g(x) h(x) = f(x)$

所以 $ f(-x) = f(x) $，满足偶函数定义。

✅ 结论： 函数（2）是偶函数

最终答案：

（1）$ f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \sin x $ 是 奇函数。

（2）$ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) $ 是 偶函数。

答案：

$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) 奇函数} \\&\text{(2) 偶函数}\end{aligned} }$