题目
8.2 某灯泡厂声称其生产的灯泡平均寿命不低于1000小时，已知灯泡寿命服从正态分布，标准差σ=80小时。现随机抽取25只灯泡测试，测得平均寿命为960小时。在显著性水平α=0.05水平下，能否认为该厂灯泡的平均寿命低于声称值?
8.2 某灯泡厂声称其生产的灯泡平均寿命不低于1000小时，已知灯泡寿命服从正态分布，标准差σ=80小时。现随机抽取25只灯泡测试，测得平均寿命为960小时。在显著性水平α=0.05水平下，能否认为该厂灯泡的平均寿命低于声称值?
题目解答
答案
1. **建立假设**：
$H_0: \mu \geq 1000$（平均寿命不低于1000小时），
$H_1: \mu < 1000$（平均寿命低于1000小时）。
2. **计算检验统计量**：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{960 - 1000}{80 / \sqrt{25}} = -2.5
\]
3. **确定临界值**：
对于$\alpha = 0.05$的单侧检验，$Z_{0.05} = -1.645$。
4. **比较并结论**：
$Z = -2.5 < -1.645$，落在拒绝域，拒绝$H_0$。
**答案**：
\[
\boxed{\text{拒绝原假设，认为灯泡的平均寿命低于声称值。}}
\]
解析
步骤 1：建立假设
- 原假设 $H_0: \mu \geq 1000$（平均寿命不低于1000小时）
- 备择假设 $H_1: \mu < 1000$（平均寿命低于1000小时）
步骤 2：计算检验统计量
- 使用公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\bar{X} = 960$，$\mu_0 = 1000$，$\sigma = 80$，$n = 25$
- 计算得 $Z = \frac{960 - 1000}{80 / \sqrt{25}} = \frac{-40}{80 / 5} = \frac{-40}{16} = -2.5$
步骤 3：确定临界值
- 对于单侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得 $Z_{0.05} = -1.645$
步骤 4：比较并结论
- 比较计算出的检验统计量 $Z = -2.5$ 和临界值 $Z_{0.05} = -1.645$
- 因为 $Z = -2.5 < -1.645$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$
- 原假设 $H_0: \mu \geq 1000$（平均寿命不低于1000小时）
- 备择假设 $H_1: \mu < 1000$（平均寿命低于1000小时）
步骤 2：计算检验统计量
- 使用公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\bar{X} = 960$，$\mu_0 = 1000$，$\sigma = 80$，$n = 25$
- 计算得 $Z = \frac{960 - 1000}{80 / \sqrt{25}} = \frac{-40}{80 / 5} = \frac{-40}{16} = -2.5$
步骤 3：确定临界值
- 对于单侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得 $Z_{0.05} = -1.645$
步骤 4：比较并结论
- 比较计算出的检验统计量 $Z = -2.5$ 和临界值 $Z_{0.05} = -1.645$
- 因为 $Z = -2.5 < -1.645$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$