题目
在次品率为dfrac (1)(6)的一批产品中，任意抽取300件，试计算在抽取的产品中次品件数在 40到60间的概率。
在次品率为
的一批产品中，任意抽取300件，试计算在抽取的产品中次品件数在 40到60间的概率。
题目解答
答案
- 设在抽取的产品中次品件数为X，则X可以看作300次重复独立试验中次品出现的次数，在每次试验中，次品出现的概率是，因此X服从B(300,)。
- P{40<X<60}=P{
}=P{
}=
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
设在抽取的产品中次品件数为X，则X可以看作300次重复独立试验中次品出现的次数，在每次试验中，次品出现的概率是p。因此，X服从二项分布B(300, p)。
步骤 2：计算期望值和方差
对于二项分布B(n, p)，期望值E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)。因此，对于本题，E(X) = 300p，Var(X) = 300p(1-p)。
步骤 3：应用中心极限定理
当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，X可以近似为正态分布N(np, np(1-p))。为了计算次品件数在40到60之间的概率，我们需要将X标准化为标准正态分布Z，其中Z = (X - np) / sqrt(np(1-p))。
步骤 4：计算标准化后的概率
P{40 < X < 60} = P{$\dfrac {40-300p}{\sqrt {300p(1-p)}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {60-300p}{\sqrt {300p(1-p)}}$}。根据题目，p = 1/6，代入计算得P{40 < X < 60} = P{$\dfrac {40-50}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {60-50}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}$} = P{$\dfrac {-10}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {10}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}$} = P{$-2\sqrt {\dfrac {3}{5}}\leqslant Z\leqslant 2\sqrt {\dfrac {3}{5}}$} = $\varphi (2\sqrt {\dfrac {3}{5}})-\varphi (-2\sqrt {\dfrac {3}{5}})$ = $2\varphi (2\sqrt {\dfrac {3}{5}})-1$ = 0.8788。
设在抽取的产品中次品件数为X，则X可以看作300次重复独立试验中次品出现的次数，在每次试验中，次品出现的概率是p。因此，X服从二项分布B(300, p)。
步骤 2：计算期望值和方差
对于二项分布B(n, p)，期望值E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)。因此，对于本题，E(X) = 300p，Var(X) = 300p(1-p)。
步骤 3：应用中心极限定理
当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，X可以近似为正态分布N(np, np(1-p))。为了计算次品件数在40到60之间的概率，我们需要将X标准化为标准正态分布Z，其中Z = (X - np) / sqrt(np(1-p))。
步骤 4：计算标准化后的概率
P{40 < X < 60} = P{$\dfrac {40-300p}{\sqrt {300p(1-p)}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {60-300p}{\sqrt {300p(1-p)}}$}。根据题目，p = 1/6，代入计算得P{40 < X < 60} = P{$\dfrac {40-50}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {60-50}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}$} = P{$\dfrac {-10}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}\leqslant Z\leqslant \dfrac {10}{\sqrt {\dfrac {250}{6}}}$} = P{$-2\sqrt {\dfrac {3}{5}}\leqslant Z\leqslant 2\sqrt {\dfrac {3}{5}}$} = $\varphi (2\sqrt {\dfrac {3}{5}})-\varphi (-2\sqrt {\dfrac {3}{5}})$ = $2\varphi (2\sqrt {\dfrac {3}{5}})-1$ = 0.8788。