题目

一、单选题（共100题，100.0分）42.（单选题，1.0分）如果函数f(x)=}(sinpi(x-1))/(x-1),x<1arcsin x+k,xgeq1处处连续则k=（）（）A -(2)/(pi);B (2)/(pi);C -(pi)/(2);D (pi)/(2).

一、单选题（共100题，100.0分） 42.（单选题，1.0分） 如果函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin\pi(x-1)}{x-1},x<1\\arcsin x+k,x\geq1\end{cases}$处处连续则k=（）（） A $-\frac{2}{\pi}$; B $\frac{2}{\pi}$; C $-\frac{\pi}{2}$; D $\frac{\pi}{2}$.

题目解答

答案

函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处连续，需满足 $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) $。

  1. 计算左极限：
    $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{\sin \pi (x-1)}{x-1}$
    令 $ u = x - 1 $，当 $ x \to 1^- $ 时，$ u \to 0^- $，则
    $\lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{u} = \pi \lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{\pi u} = \pi \cdot 1 = \pi$
    故 $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \pi $。

  2. 计算右极限与函数值：
    $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\arcsin x + k) = \arcsin 1 + k = \frac{\pi}{2} + k$
    由于 $ f(1) = \arcsin 1 + k = \frac{\pi}{2} + k $，为保证连续性，需
    $\pi = \frac{\pi}{2} + k \implies k = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

答案：D $\frac{\pi}{2}$

解析

本题考查分段函数在分段点处的连续性。解题思路是根据函数在某点连续的定义，即函数在该点的左极限、右极限以及函数值都相等。对于本题中的分段函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin\pi(x - 1)}{x - 1},x\lt1\\\arcsin x + k,x\geq1\end{cases}$，需要分别计算$x = 1$处的左极限、右极限和函数值，然后令它们相等，从而求出$k$的值。

  1. 计算左极限$\lim_{x \to 1^-} f(x)$：
    已知当$x\lt1$时，$f(x)=\frac{\sin\pi(x - 1)}{x - 1}$，令$u = x - 1$，当$x \to 1^-$时，$u \to 0^-$，则$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} \frac{\sin \pi (x - 1)}{x - 1}=\lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{u}$。
    根据重要极限$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1$，对$\lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{u}$进行变形可得：
    $\lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{u}=\pi \lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{\pi u}$
    因为$\lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{\pi u}=1$，所以$\pi \lim_{u \to 0} \frac{\sin \pi u}{\pi u}=\pi\times1 = \pi$，即$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \pi$。
  2. 计算右极限$\lim_{x \to 1^+} f(x)$和函数值$f(1)$：
    已知当$x\geq1$时，$f(x)=\arcsin x + k$，则$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} (\arcsin x + k)$。
    因为$\arcsin x$在$x = 1$处连续，所以$\lim_{x \to 1^+} \arcsin x = \arcsin 1=\frac{\pi}{2}$，则$\lim_{x \to 1^+} (\arcsin x + k)=\arcsin 1 + k=\frac{\pi}{2} + k$。
    又因为$f(1)=\arcsin 1 + k=\frac{\pi}{2} + k$，所以$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)=\frac{\pi}{2} + k$。
  3. 根据函数连续性求$k$的值：
    因为函数$f(x)$在$x = 1$处连续，所以$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$，即$\pi = \frac{\pi}{2} + k$。
    移项可得$k = \pi - \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。